Deux méthodes statistiques pour la sélection de modèles de graphes : La distance à l'ensemble microcanonique et l'inférence préquentielle sur les séquences d'arêtes

Two statistical methods for graph model selection : Distance to the microcanonical ensemble and prequential inference on edge sequences

• Auteur / Autrice : Louis Duvivier
• Direction : Céline Robardet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 26/11/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Institut national des sciences appliquées (Lyon ; 1957-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'InfoRmatique en Images et Systèmes d'information (Ecully, Rhône ; 2003-....) - Laboratoire d'InfoRmatique en Image et Systèmes d'information / LIRIS
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Data Mining and Machine Learning - DM2L
• Jury : Président / Présidente : Pierre Borgnat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Céline Robardet, Pierre Borgnat, Catherine Matias, Lionel Tabourier, Rémy Cazabet, Tiago Peixoto
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Catherine Matias, Lionel Tabourier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corrélation canonique (statistique)

Statistique mathématique

Mots clés libres

Mathématiques

Graphe

Modèle statistique

Sélection de modèle

Stochastic blockmodel

Interférence préquentielle

Mathematics

Graph

Statistical Model

Model selection

Stochastic blockmodel

Prequential inference

Résumé

Depuis vingt-cinq ans, l’étude de réseaux complexes est un domaine de recherche particulièrement actif. La taille des réseaux étudiés impose de modéliser leur structure pour la rendre compréhensible. De nombreux modèles ont été proposés pour cela, basés sur le degré des nœuds, une partition des nœuds en blocs, des plongements dans des espaces sous-jacents, etc. L’estimation des paramètres de ces modèles a mis en évidence la nécessité d’une approche statistique rigoureuse pour éviter le sur-apprentissage aussi bien que le sous-apprentissage. Dans cette thèse, nous nous appuyons sur ces résultats pour proposer deux méthodologies qui permettent d’évaluer la pertinence d’un modèle pour un graphe donné. Dans un premier temps, nous avons étudié la structure géométrique de l’ensemble microcanonique, mettant en évidence un rayon caractéristique pour plusieurs modèles. Cela nous a permis de proposer un test statistique s’inspirant des principes de la p-valeur pour tester un modèle. Dans un deuxième temps, pour pallier au problème du manque d’observation par rapport au nombre de paramètres des modèles considérés, nous nous sommes concentrés sur des modèles d’arêtes. Cela nous a permis de proposer une méthodologie pour évaluer un modèle, basée sur la longueur de description minimale. Ses avantages principaux sont d’une part des fondements statistiques rigoureux qui permettent une interprétation des résultats obtenus, et d’autre part une formulation commune pour des modèles de nature différente (SBM et configuration model, par exemple), qui permet de comparer leurs performances sur un même graphe. Tout au long de notre travail, nous nous sommes attachés à suivre une approche formelle qui nous a permis de prouver plusieurs résultats sur les méthodes proposées, en particulier concernant la convergence des estimateurs.

For the last 25 years, complex networks have been an active field of research. The size of the networks studied imposes to model their structure in order to make it understandable. Many models have been put forward to do so, whether based on nodes’ degree, on a partition of the node into blocks, on an embeddeding in a latent space, etc. The estimation of those models’ parameters has shown how important it is to follow a rigourous statistical approach in order to avoid both overfitting and underfitting. In this thesis, we build on this previous work to develop two methodologies aiming at evaluating the relevance of a model with respect to a given graph. First, we study the geometric structure of the microcanonical ensemble and highlight the existence of a characteristic radius for various models. This allows us to suggest a statistical testing methodology inspired from the principles of the p-value to test a model. Then, to tackle the issue of the lack of observations compared with the number of parameters of the model, we focused on edge models. We suggest a methodology to evaluate a model, based on the minimum description length. Its main benefits are its rigorous statistical grounds, which allow for an interpretation of the results, and a common formulation for models of different nature (SBM and configuration model, for example) which allows to compare their performance on a graph. All along our work, we remained careful to follow a formal approach which allowed us to proove various properties about the methodologies described, particularly about the convergence of the estimators.