Mahler equations : Galois groups and regular singularities
Equations de Mahler : groupes de Galois et singularités régulières
Résumé
This thesis is devoted to the study of Mahler equations and the solutions of these equations, called Mahler functions. Classic examples of Mahler functions are the generating series of automatic sequences. The first part of this thesis deals with the Galoisian aspects of Mahler equations. Our main result is an analog for Mahler equations of the Schlesinger’s density theorem according to which the monodromy of a regular singular differential equation is Zariski-dense in its differential Galois group. To this end, we start by attaching a pair of connection matrices to each regular singular Mahler equation. These matrices enable us to construct a subgroup of the Galois group of the Mahler equation and we prove that this subgroup is Zariski-dense in the Galois group. The only assumption of this density theorem is the regular singular condition on the considered Mahler equation. The second part of this thesis is devoted to the construction of an algorithm which recognizes whether or not a Mahler equation is regular singular.
Cette thèse est consacrée à l'étude des équations de Mahler et des solutions de ces équations, appelées fonctions de Mahler. Des exemples classiques de fonctions de Mahler sont les séries génératrices des suites automatiques. La première partie de cette thèse porte sur les aspects galoisiens des équations de Mahler. Notre résultat principal est un analogue pour ces équations du théorème de densité de Schlesinger selon lequel la monodromie d'une équation différentielle à points singuliers réguliers est Zariski-dense dans son groupe de Galois différentiel. Pour cela, nous commençons par attacher une paire de matrices de connexion à chaque équation de Mahler singulière régulière. Ces matrices nous permettent de construire un sous-groupe du groupe de Galois de l'équation de Mahler et nous montrons que ce sous-groupe est Zariski-dense dans le groupe de Galois. La seule hypothèse de ce théorème de densité est le caractère singulier régulier de l'équation de Mahler considérée. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à la construction d'un algorithme qui permet de reconnaître si une équation de Mahler est singulière régulière.
Origine : Version validée par le jury (STAR)