Diffusion et relaxation pour des systèmes de particules avec contraintes cinétiques

Diffusion and relaxation for particle systems with kinetic constraints

• Auteur / Autrice : Anatole Ertul
• Direction : Oriane Blondel, Fabio Lucio Toninelli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/12/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Christophe Sabot
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Oriane Blondel, Fabio Lucio Toninelli, Ellen Saada, Justin Salez, Marielle Simon
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ellen Saada, Justin Salez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Particules (physique)

Équations cinétiques

Markov, Processus de

Mécanique statistique

Mots clés libres

Processus de Markov

Contraintes cinétiques

Diffusion

Couplage

Cut-off

Markov process

Kinetically constrainted models

Diffusion

Coupling

Cutoff

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des modèles de particules en interaction particuliers appelés KCM (Kinetically Constrained Models). Il s'agit de processus de Markov sur un espace de configuration {0,1}^G où G est l'ensemble des sommets d'un graphe, le plus souvent Z^d, qui ont été introduits dans les années 1980 par des physiciens pour répondre à des questions sur les transitions de phase vitreuses. L'étude se fait sur deux axes. Pour un premier modèle particulier, nous établissons un résultat précis sur la convergence du processus vers une mesure invariante, en démontrant au passage que ce modèle est un nouvel exemple de phénomène appelé cut-off : la distance en variation totale entre la loi du processus et la mesure d'équilibre chute brusquement autour d'une valeur critique qui dépend de la taille du système. Dans un second temps, nous étudions un autre modèle, conservatif, dans lequel on suit la trajectoire d'une particule marquée. Il avait été démontré en 2018 que cette trajectoire admet une limite diffusive, avec un coeffcient de diffusion strictement positif. Nous prolongeons ici ce résultat en donnant des bornes précises de ce coefficient lorsque la densité de particule tend vers 1.

This PhD thesis focuses on Kinetically Constrained Models, also known as KCM. These models are continuous time Markov process on the state space {0,1}^G, where G is the set of vertices of a graph, usually Z^d. KCMs were introduced in the 1980's by physicists in order to model liquid/glass transition. The work presented here is split in two main results. First, we study a particular spin model called the Fredrickson-Andersen model, for which we establish a precise relaxation result. More precisely, we show that this process exhibits cutoff by giving an estimate on the mixing time starting from any initial configuration. Next, we focus on another model that is conservatif, for which we follow the motion of a tagged particle. It was recently show that the trajectory of the particle is diffusive, and that the diffusion coefficient is positive. Here, we push this result further by giving precise bounds on this coefficient when the particle density tends to 1.