Approches combinatoires à la cohérence des monoïdes plaxiques via les cristaux et arbres de Yamanouchi

Combinatorial approaches to coherence of plactic monoids with crystals and Yamanouchi trees

• Auteur / Autrice : Uran Meha
• Direction : Philippe Malbos, Stéphane Gaussent
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/09/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Kenji Iohara
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Malbos, Stéphane Gaussent, António Malheiro, Martina Lanini, Cédric Lecouvey, Petra Schwer, Jacinta Torres
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : António Malheiro

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse combinatoire énumérative

Monoïdes

Algèbres de Lie

Représentations d'algèbres

Mots clés libres

Réécriture

Présentations cohérentes

Monoïdes plaxiques

Cristaux

Mots de plus haut poids

Arbres de Yamanouchi

Rewriting

Coherent presentations

Plactic monoids

Crystals

Words of highest weight

Yamanouchi trees

Résumé

Les monoïdes plaxiques sont des objets qui décrivent la théorie des représentations des algèbres de Lie semisimples complexes de dimension finie. Dans ce contexte, les monoïdes plaxiques admettent une réalisation via l’approche cristalline, et il existe une notion d’éléments de plus haut poids du monoïde. Une autre approche pour réaliser les monoïdes plaxiques est celle par des présentations convergentes finies par générateurs et relations, appelées présentations en colonnes. Cette approche ouvre une direction d’étude des monoïdes plaxiques via la théorie de la réécriture. Dans cette thèse, nous étudions l’interaction entre ces deux approches, et nous prouvons que l’étude des monoïdes plaxiques via la théorie de la réécriture peut effectivement être réduite à son étude aux éléments de plus haut poids. Plus précisément, nous introduisons les notions de graphes, de monoïdes, et de polygraphes cristallins, qui sont particulièrement adaptés au monde des monoïdes plaxiques. Nous prouvons ensuite que pour certains cristaux propres, c’est-à-dire ceux qui contiennent tous les éléments de plus haut poids, la vérification de propriétés de rééciture telles que la terminaison et la confluence d’un polygraphe donné se réduit à leur vérification aux éléments de plus haut poids. Cela conduit à des versions cristallines du lemme de Newman, du lemme des paires critiques, et du théorème de cohérence de Squier. Expliciter l’extension cohérente d’un polygraphe propre cristallin convergent revient à certains calculs de règles de réécriture sur les éléments de plus haut poids. Nous introduisons ensuite une version quadratique de la présentation en colonnes des monoïdes plaxiques dans les types A, B, C, D, et montrons qu’elle est un polygraphe cristallin convergent fini. De plus, on peut étudier la présentation en colonnes et sa version quadratique simultanément, car elles sont fortement liées − néanmoins la version quadratique a un avantage du fait que sa combinatoire est plus maniable. Nous introduisons ensuite des outils combinatoires dans les types A et C, appelés arbres de Yamanouchi, qui paramètrent les éléments de plus haut poids dans la présentation quadratique en colonnes, et facilitent le calcul de certaines règles de réécriture. Enfin, via le théorème de Squier cristallin, et des calculs via les arbres de Yamanouchi, nous concluons que la base d’homotopie de les présentation cohérente des monoïdes plaxiques de type A, respectivement de type C, est constituée de cellules de la forme (3,3), respectivement (4,3).

Plactic monoids are objects that describe the representation theory of finite dimensional complex semisimple Lie algebras. In this context the plactic monoids admit a realization via the crystal approach, and there is a notion of elements of highest weights of the monoid. Another approach to realizing plactic monoids is that via finite convergent presentations by generators and relations, called the column presentations. This approach opens a direction of study of plactic monoids via rewriting theory. In this thesis we investigate the interaction between these two approaches, and prove that the study of plactic monoids via rewriting theory can effectively be reduced to its study at the elements of highest weight. More precisely, we introduce notions of crystal-like graphs, monoids, and polygraphs, which are particularly adapted to the world of plactic monoids. We then prove that for certain crystals called proper, that is ones which contain all the elements of highest weight, the verification of the rewriting properties of termination and (local) confluence of a given polygraph is reduced to their verification at the elements of highest weight. This leads to crystal-like versions of Newman's Lemma, Critical Pair Lemma, and Squier's coherent completion theorem. In particular, expliciting the coherent extension of a convergent crystal-like proper polygraph amounts to certain computations of rewriting rules on elements of highest weight. We then introduce a quadratic version of the column presentation and plactic monoids in types A, B, C, D, and show that it is a finite convergent crystal-like polygraph. Moreover, one can study the column presentation and its quadratic version simultaneously, as they are strongly related - nevertheless the quadratic version has an advantage due to its combinatorics being more manageable. We then introduce combinatorial tools in types A and C, called Yamanouchi words, which parameterize the elements of highest weight in the quadratic column presentation, and facilitate the computation of certain rewriting rules. Finally, via the crystal-like Squier theorem, and computations via Yamanouchi trees, we conclude that the homotopy basis of the coherent presentations of the plactic monoids of type A, respectively type C, consists of cells of the shape (3,3), respectively (4,3).