Algébricité modulo p et structure de Frobenius forte

Algebraicity modulo p and strong Frobenius structure

• Auteur / Autrice : Daniel Vargas Montoya
• Direction : Boris Adamczewski, Eric Delaygue
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/07/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale InfoMaths (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Julien Roques
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Boris Adamczewski, Eric Delaygue, Jean-Paul Allouche, Frits Beukers, Masha Vlasenko, Reem Yassawi, Charlotte Hardouin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Paul Allouche, Frits Beukers

Mots clés

Mots clés contrôlés

Séries hypergéométriques

Indépendance algébrique

Variétés de Frobenius

Nombres rationnels

Mots clés libres

Algébricité modulo p

Structure de Frobenius forte

Congruences '' à la Lucas ''

Indépendance algébrique

Algebraicity modulo p

Strong Frobenius structure

Congruences '' à la Lucas ''

Algebraic independence

Résumé

Cette thèse se situe à la interface entre la théorie de nombres et la théorie des équations différentielles. Elle est consacré à l'étude de l'algébricité modulo p des séries formelles à coefficients dans les corps des nombres rationnels. L'outil principal utilisé dans cette thèse à fin d'étudier cette problématique est la notion de structure de Frobenius forte associée à un opérateur différentiel. Dans un premier temps, nous montrons qu'une conjecture d'Adamczewski--Delaygue concernant le degré d'algébricité de réductions modulo p de G fonctions est vraie pour les séries séries hypergéométriques généralisées. La deuxième partie de la thèse est consacrée à certaines applications combinatoires et arithmétiques de l'algébricité modulo p et dans la dernière partie, nous proposons une nouvelle définition de la notion de structure de Frobenius forte pour les opérateurs aux différences.

This thesis is at the interface between the theory of numbers and the theory of differential equations. It is devoted to the study of the algebraicity modulo p of formal series with coefficients in the fields of rational numbers. The main tool used in this thesis to study this problem is the notion of strong Frobenius structure associated with a differential operator. First, we show that a Adamczewski - Delaygue's conjecture concerning the degree of algebraicity of reductions modulo p of G functions is true for generalized hypergeometric series. The second part of the thesis is devoted to certain combinatorial and arithmetic applications of the algebraicity modulo p . In the last part, we propose a new definition of the notion of strong Frobenius structure for difference operators.