Étude théorique et numérique d'équations cinétiques stochastiques multi-échelles

Theoretical and numerical study of multiscale stochastic kinetic equations

• Auteur / Autrice : Shmuel Rakotonirina-Ricquebourg
• Direction : Charles-Edouard Bréhier, Julien Vovelle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/07/2021
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (Lyon ; 2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne de Bouard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charles-Edouard Bréhier, Julien Vovelle, Anne de Bouard, Sandra Cerrai, Ludovic Goudenège, Benjamin Texier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sandra Cerrai, Ludovic Goudenège

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Analyse multiéchelle

Équations différentielles paraboliques -- Théorie asymptotique

Équations cinétiques

Mots clés libres

Mathématiques et leurs interactions

Équations cinétiques

Équations Différentielles Stochastiques

Équations aux Dérivées Pratielles Stochastiques

Approximation-Diffusion

Principe de moyennisation

Méthodes multi-Échelles

Schéma préservant l'asymptotique

Kinetic equations

Slow-Fast systems

Stochastic Differential Equations

Stochastic Partial Differential Equations

Diffusion approximation

Averaging principle

Multiscale methods

Asymptotic Preserving schemes

Résumé

Cette thèse est dédiée à l'étude d'une classe de systèmes multi-échelles modélisés par une Équation aux Dérivées Partielles Stochastique (EDPS) linéaire cinétique ou une Équation Différentielle Stochastique (EDS). On étudie ces systèmes d'un point de vue théorique et numérique, dans deux régimes asymptotiques : le régime de moyennisation et le régime d'approximation-diffusion.Les deux premiers chapitres énoncent les principaux résultats théoriques de cette thèse. On montre à chaque fois la convergence de la composante lente du système d'EDPS considéré vers la solution d'une équation de diffusion munie d'un terme source qui dépend du régime asymptotique. Dans le premier chapitre, on considère le régime d'approximation-diffusion, dans lequel le terme source de l'équation limite est un terme diffusif au sens probabiliste (processus de Wiener). Dans le deuxième, on considère le régime de moyennisation, dans lequel le terme source de l'équation limite est la moyenne du terme source de l'EDPS originale.Les deux derniers chapitres constituent la partie numérique de cette thèse. De manière générale, un schéma numérique peut être consistant avec un système multi-échelle à un paramètre epsilon fixé mais se révéler inefficace dans le régime asymptotique où epsilon tend vers 0, à cause d'un terme raide dans le modèle. À l'opposé, certains schémas préservent l'asymptotique : ils sont consistants à epsilon fixé, convergent vers un schéma limite quand epsilon tend vers 0 et ce schéma limite est consistant avec l'équation limite. Le but des deux derniers chapitres est de proposer, respectivement pour les EDS et les EDPS considérées, des schémas préservant l'asymptotique, de les étudier et d'illustrer numériquement leur efficacité

In this thesis, we study a class of slow-fast systems modeled by kinetic linear Stochastic Partial Differential Equations (SPDEs) or Stochastic Differential Equations (SDEs). We study these systems from theoretical and a numerical points of view in two asymptotic regimes: the averaging regime and the diffusion approximation regime.The first two chapters state the main theoretical contributions of this work. We prove the convergence of the slow component of the considered SPDEs to the solution of a diffusion equation with a source term depending on the asymptotic regime. The first chapter focuses on the diffusion approximation regime, where the source term of the limiting equation is a stochastic diffusive term (Wiener process). The second chapter focuses on the averaging regime, where the limiting source term is the average of the original source term.The last two chapters are devoted to the numerical part of this work. In general, a numerical scheme which is consistent with a multiscale system for a fixed parameter epsilon can perform badly in the asymptotic regime when epsilon tends to 0 due to the presence of stiff terms in the model. On the contrary, some schemes are asymptotic preserving: they are consistent for fixed epsilon, converge to some limiting schemes when epsilon tends to 0 and the limiting scheme is consistent with the limiting equation. The goal of the last two chapters is to design asymptotic preserving schemes, respectively for the class of SDEs and SPDEs we consider. We also analyze these schemes and illustrate numerically their efficiency