Dynamique et stabilisation d’un plasma magnétique froid

Dynamics and stabilization of a cold magnetized plasma

• Auteur / Autrice : Ibtissem Zaafrani
• Direction : Simon Labrunie, Moez Khenissi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université de Sousse (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Ingrid Lacroix-Violet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Simon Labrunie, Moez Khenissi, Hélène Barucq, Amel Atallah Baraket, Jamel Ferchichi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Hélène Barucq, Amel Atallah Baraket

Mots clés

Mots clés contrôlés

Plasmas froids

Semigroupes

Problèmes aux limites

Convergence (mathématiques)

Modèles mathématiques

Hydrodynamique

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Équations de Maxwell

Modèles hydrodynamiques

Stabilisation

Condition aux limites absorbante

Semi-Groupes d'évolution

Plasma

Maxwell equations

Hydrodynamic models

Stabilization

Absorbing boundary condition

Evolution semi-Groups

Plasma

Résumé

Dans cette thèse, nous considérons un modèle Euler-Maxwell linéarisé de propagation et d'absorption des ondes électromagnétiques dans un plasma magnétique. Deux types de conditions aux limites sont envisagées : conducteur parfait sur toute la frontière et Silver-Müller homogène ou non sur une partie de celle-ci. D'abord, j'établis les équations du modèle et je montre sa bonne position par la théorie des semi-groupes. Ensuite, je m'intéresse à la stabilisation du modèle. Dans un premier temps, je réalise une étude sur le comportement asymptotique en temps long de la solution. Je montre qu'elle décroît vers zéro sous certaines hypothèses physiquement raisonnables. Je conclus à sa convergence vers un état stationnaire non nul dans un espace d'énergie plus grand. Cet état stationnaire est lié aux propriétés de topologie du domaine, et s'exprime en fonction des données initiales. Dans un second temps, j'étudie la décroissance de l'énergie en utilisant la méthode du domaine fréquentiel. J'établis une décroissance polynomiale pour les deux conditions aux limites. Je démontre également un résultat conditionnel de décroissance exponentielle dans le cas Silver-Müller homogène. Dans le cas du conducteur parfait, nous montrons que le système Euler-Maxwell n'est pas exponentiellement stable. Nous concluons par un résultat de convergence vers le régime harmonique en temps en présence d'un forçage harmonique. Parmi les principales difficultés rencontrées, la résolvante de l'opérateur d'évolution est non compacte et l'absorption interne agit seulement sur les variables fluides. Aucune hypothèse d'homogénéité n'est faite, et les hypothèses topologiques et géométriques sur le domaine sont minimales. Ces résultats semblent fortement liés aux propriétés spectrales de diverses matrices décrivant l'anisotropie et d'autres propriétés du plasma. Enfin, nous donnons une extension de ces résultats à un problème d'interface vide-plasma.

In this thesis, we consider a linearized Euler-Maxwell model for the propagation and absorption of electromagnetic waves in a magnetized plasma. Two types of boundary conditions are considered: perfectly conducting on the whole boundary and Silver-Müller, homogeneous or not, on part of it. First, I establish the equations of the model and show its well-posedness by the theory of semigroups. Then, I am interested in the stabilization of the model. First, I carry out a study on the long- term asymptotic behavior of the solution. I show that it decreases towards zero under certain physically reasonable assumptions. I conclude that it converges to a non-zero stationary state in a larger energy space. This stationary state is linked to the topology properties of the domain, and is expressed as a function of the initial data. Secondly, I study the energy decay rate by using the frequency domain method. I establish a polynomial decay for both boundary conditions. I also prove a conditional exponential decay result in the homogeneous Silver-Müller case. In the perfectly conducting case, we show that the Euler-Maxwell system is not exponentially stable. We conclude by a result of convergence towards the time-harmonic regime in the presence of a harmonic forcing. Among the main difficulties encountered, the resolvent of the evolution operator is not compact and the internal absorption acts only on the fluid variables. No homogeneity assumption is made, and the topological and geometrical assumptions on the domain are minimal. These results appear strongly linked to the spectral properties of various matrices describing the anisotropy and other plasma properties. Finally, we extend those results to the case of a vacuum-plasma interface problem.