Modélisation et étude mathématique de la propagation d’une maladie vectorielle (paludisme) au sein d’une population

Modelling and mathematical analysis of the spread of a vector-borne disease (malaria)

• Auteur / Autrice : Souâd Yacheur
• Direction : Abderrahman Iggidr, Ali Moussaoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine en cotutelle avec Université Aboubekr Belkaid de Tlemcen (Tlemcen, Algérie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Anne Gégout-Petit
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abderrahman Iggidr, Ali Moussaoui, Pierre-Alexandre Bliman, Nadjia El Saadi, Noura Tahri-Yousfi, Karim Yadi
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre-Alexandre Bliman, Nadjia El Saadi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Transmission

Paludisme

Mobilité spatiale

Stabilité

Systèmes non linéaires

Modèles mathématiques

Épidémiologie

Mots clés libres

Épidémiologie mathématique

Systèmes non linéaires

Stabilité

Modèles multi-Groupes

Systèmes en réseau

Mathematical epidemiology

Nonlinear systems

Stability

Multi-Group models

Networked systems

Résumé

L’objectif de cette thèse est l’étude d’une classe de modèles mathématiques décrivant quelques problèmes relatifs à l’infection par le parasite Plasmodium falciparum qui cause le paludisme et dont le vecteur est le moustique.On divise le travail en trois grandes parties, la première partie concerne l’analyse de la propagation du paludisme au sein d’une population isolé. On a étudié la stabilité globale de l'équilibre sans maladie en fonction des différents paramètres épidémiologiques quand nombre de reproduction de base est inférieur à un. Quand ce nombre est supérieur à on a prouvé l’existence d’un unique équilibre endémique. En s'inspirant de l'approche géométrique introduite par Li et Muldowney, on a donné une condition suffisante pour que cet équilibre endémique soit globalement asymptotiquement stable.Un estimateur d'état est construit dans le but d'estimer la taille des différentes classes des populations humaines en utilisant la mesure du nombre de nouveaux humains infectés par unité de temps. Nous avons aussi proposé deux stratégies de contrôle pour éradiquer la maladie. Enfin pour mieux comprendre la dynamique de propagation de la maladie et pour désigner les paramètres les plus influençant, nous avons fait l'étude de la sensibilité locale du nombre de reproduction de base par rapport à chaque paramètre. La deuxième partie est dédiée à l’étude d’un modèle qui décrit l’interaction et la propagation de la maladie au sein d’une population humaine divisée en deux sous-population locaux et non-locaux, la première sous-population suit une croissance linéaire quant à la population des non-locaux suit une croissance logistique au sein de la première. Nous faisons le choix d'étudier l'impact de la migration des personnes d'un pays endémique vers un autre pays déclaré sans maladie ou vers l'éradication de la maladie. Notre analyse a donné des conditions de la persistance de la maladie, nous avons étudié la possibilité de contrôle de la maladie dans un premier temps à travers le contrôle de la capacité limite, puis nous avons développé une méthode basée sur une matrice dite matrice de transmission vectorielle qui a servi à déterminer le lien entre les deux sous-populations et la population des moustiques, et en fonction des valeurs d'entrée de cette dernière dans le but de contrôler la maladie. Par ailleurs une étude de sensibilité locale et globale du niveau d'infecté locaux et non-locaux a été faite pour déterminer les paramètres d'entrées du modèle les plus influençant. La dernière partie est consacrée à l’étude de la dynamique globale des modèles avec de multiples sous-populations qui sont supposés faiblement inter-connectées. Notre travail met en évidence une procédure qui permet d'avoir une analyse complète de beaucoup de systèmes dynamiques modélisant la propagation d'une maladie qui fait intervenir différentes populations. Le but est de pouvoir déterminer la stabilité globale de l'équilibre sans maladie quand le nombre de reproduction de base est inférieur à un ainsi que la stabilité globale des différents types (intérieurs ou frontière) des équilibres endémiques en fonction des différents nombres de reproduction de base locaux et de la nature des interconnexions entre les composantes du réseau.

The main purpose of this thesis is to study a class of mathematical models describing some problems related to the infection by the Plasmodium falciparum parasite which causes malaria and whose vector is the mosquito.The work is divided into three main parts, the first part is related to the analysis of the spread of malaria in an isolated population. The global stability of the disease-free equilibrium is studied according to the different epidemiological parameters when the number of basic reproduction is lower than one. When this number is higher than one, the existence of a unique endemic equilibrium is proved. Inspired by the geometric approach introduced by Li and Muldowney, we provided a sufficient condition for this endemic equilibrium to be globally asymptotically stable.A state estimator was constructed to estimate the size of human populations based on the measurement of the number of newly infected humans per unit time. We also proposed two control strategies to eradicate the disease.Finally, to better understand the dynamics of the spread of the disease and to identify the most influential parameters, we have studied the local sensitivity of the number of basic reproduction with respect to each parameter.The second part is about the study of a model that describes the interaction and the spread of the disease within a human population that is divided into two subpopulations, local and non-local. The first subpopulation follows a linear growth while the non-local population follows a logistic growth among the first. We choose to study the impact of the migration of people from an endemic country to another country declared free of the disease or towards the eradication of the disease.Our analysis yielded conditions of the persistence of the disease, we studied the possibility of controlling the disease in a first step through the control of the carrying capacity, then we developed a method based on a matrix called matrix of vectorial transmission which was used to determine the link between the two subpopulations and the population of mosquitoes, according to the values of this matrix entries in order to ensure the control of the disease spread. In addition, a local and global sensitivity study of the level of local and non-local infection was performed to determine the most influential model input parameters.The last part is devoted to the study of the global dynamics of models with multiple subpopulations that are assumed to be weakly interconnected. Our work highlights a process that allows us to perform a complete analysis of many dynamical systems modeling the spread of a disease that involves different populations. The objective is to be able to determine the global stability of the disease-free equilibrium when the basic reproduction number is less than one as well as the global stability of the different types (interior or frontier) of endemic equilibria as a function of the different local basic reproduction numbers and the nature of the interconnections between the network components.