Formulation mixte augmentée d’un modèle « Full-wave » tridimensionnel dans un plasma froid : analyse numérique d’une approximation ℙ₂-ℙ₁

Mixed augmemted formulation for three dimensional Full-Wave model in cold plasma : Numerical analysis for ℙ₂-ℙ₁ approximation

• Auteur / Autrice : Rihab Daadaa
• Direction : Jean-Rodolphe Roche, Simon Labrunie
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Michel Mehrenberger
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Rodolphe Roche, Simon Labrunie, Frédérique Charles, Anaïs Crestetto, Moez Khenissi
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Michel Mehrenberger, Frédérique Charles

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Plasmas froids

Approximation, Théorie de l'

Équations d'onde -- Solutions numériques

Éléments finis, Méthode des

Maxwell, Équations de

Mots clés libres

Equations de Maxwell

Full-Wave

Eléments finis

Formulation mixte augmentée

Condition inf-Sup

Taylor-Hood

Maxwell equations

Full-Wave

Finite elements

Mixed formulation

Inf-Sup condition

Taylor-Hood

Résumé

L'objet de ce mémoire de thèse est d’étudier une méthode de simulation numérique d'un modèle dit “Full wave” de la propagation dans un tokamak d'une onde électromagnétique injectée par un ensemble d'antennes installées sur le bord de l'enceinte de confinement. Une méthode de simulation par éléments finis de Lagrange est déployée. Dans le premier chapitre est introduit le modèle physique considéré pour décrire la propagation d'une onde électrostatique d'une fréquence proche de la résonance hybride dans un plasma dit froid et confine par un champ magnétique à l'intérieur d'un tokamak. La propagation des ondes électromagnétiques est modélisée par les équations de Maxwell. Une approximation de la solution harmonique en temps est considérée. Dans le chapitre deux sont rappelées les formulations varationnelles mixtes et mixtes augmentées déjà étudiées précédemment. Ces formulations nous permettent de chercher des solutions dans (H¹(Ω))³ et donc une approximation en éléments finis conformes dans cet espace. Le chapitre trois est dédié à la présentation de la discrétisation des équations du modèle en trois dimensions d’espace. Dans le chapitre quatre il est démontré le caractère bien posé du système d'équations discret lorsqu'on considère une approximation de type Taylor-Hood ℙ₂-ℙ₁. Un résultat d’existence et unicité de la solution dans le cas d'un ''tore'' polyédrique est présenté. Le chapitre 5 est dédié aux simulations numériques. En premier on explicite les termes du tenseur diélectrique K ainsi que ses dérivées, qui sont nécessaires au montage de la matrice de raideur du système. Les premières simulations concernent le cas où la densité des électrons et des ions est constante. On présente ensuite des résultats dans le cas où les densités ont un profil parabolique. Le cas où le vecteur d'onde est une fonction de la distance au centre du tokamak est également considéré.

The object of this thesis is to study a numerical simulation method of a so-called “Full-wave” model of the propagation in a tokamak of an electromagnetic wave injected by a set of antennas installed in the boundary of the containment chamber. A Lagrange finite element approximation method is deployed. In the first chapter, we introduced the physical model considered to describe the propagation of an electrostatic wave of a frequency close to hybrid resonance in a so-called cold plasma, plasma confined by a magnetic field inside a tokamak. The propagation of electromagnetic waves is modeled by Maxwell's equations. This work contemplates an approximation of the time-harmonic solution. In the second chapter, we recall the mixed and mixed variational formulations already studied in the past. These formulations allow us to find solutions in (H¹(Ω))³ and therefore a conformal finite element approximation in this space. Chapter three is dedicated to the presentation of the discretization of the model's equations in three dimensions of space. In chapter four it is demonstrated the well-posed character of the discrete system of equations when one considers a Taylor-Hood type approximation ℙ₂-ℙ₁. In this section, we proved a result about the existence and the uniqueness of the solution in the case of a polyhedral “torus”. Chapter 5 is dedicated to numerical simulations. First are introduced the terms of the dielectric tensor K and its derivatives, needed to mount the stiffness matrix of the system. The first simulations concern the case where the density of electrons and ions is constant. Then results are presented in the case where densities have a parabolic profile. It is also considered the case where the wave vector is a function of the distance at the center of the tokamak.