Adhérences de certaines orbites dans la variété de drapeaux, résolution et normalité dans les types classiques A, B, D

Z-orbit closures in flag varieties, resolution and normality, types A, B, D

• Auteur / Autrice : Simon Jacques
• Direction : Pierre-Emmanuel Chaput, Lucas Fresse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 17/12/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Matthieu Romagny
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pierre-Emmanuel Chaput, Lucas Fresse, Kęstutis Česnavičius, Evgeny Smirnov, Stéphanie Cupit-Foutou, Anne Moreau, Alain Genestier
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Kęstutis Česnavičius, Evgeny Smirnov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Espaces fibrés (mathématiques)

Variétés de drapeaux (géométrie)

Schubert, Variétés de

Groupes algébriques

Mots clés libres

Groupes algébriques

Variété de Steinberg

Variété de Schubert

Fibres de Springer

Polynômes caractéristiques

Algebraic groups

Steinberg variety

Schubert variety

Springer fibers

Characteristic polynomials

Résumé

Soit G un groupe algébrique en type classique A, B ou D. Soit e un élément nilpotent de son algèbre de Lie et Z son centralisateur. On suppose la caractéristique nulle et l'ordre de e, vu comme endomorphisme, égal à deux. Cette thèse établit les propriétés de normalité, rationalité et Cohen-Macaulay pour toute adhérence Y d'une Z-orbite dans la variété des drapeaux de G. Elle étend ainsi un résultat de N.Perrin et E.Smirnov qui traitant le cas où Y est une composante irréductible d'une fibre de Springer pour les types A et D. Nous employons le même argument principal, à savoir un raisonnement récursif basé sur (1) la birationnalité d'un morphisme vers Y et (2) la surjectivité d'une restriction de sections. Pour produire (1), nous faisons intervenir les variétés de Schubert, de Bott-Samelson et employons la théorie des sous-groupes symétriques en recourant à des références classiques sur le sujet (R-W Richardson, T-A Springer). Pour (2), nous nous basons sur un théorème de X.He et J-F Thomsen fournissant un scindage de Frobenius. Celui-ci implique alors (2) en caractéristique positive et nous opérons une réduction p pour nous ramener à la caractéristique nulle de départ. Notre travail appelle à se prolonger dans différentes pistes de réflexion et de recherche. Il pourrait avoir des implications positives pour l'étude des composantes irréductibles de la variété de Steinberg, et à travers elles, du calcul de polynômes caractéristiques introduits par A.Joseph afin de constituer des représentations irréductibles du groupe de Weyl. Notre travail pose aussi la question naturelle de la généralisation de son résultat au type C, aux types exceptionnels et à la caractéristique positive.

Let G be a connected algebraic reductive group in types A, B, or D, and e be a nilpotent element of its Lie algebra with centralizer Z:=Z_G(e). We suppose the characteristic zero and that e corresponds to a nilpotent endomorphism of order two. We sketch a proof of the following result: all Z-orbit closures Y in the flag variety X of G are normal. It extends a work of Nicolas Perrin and Evgeny Smirnov which deals with an irreducible component Y of the Springer fiber X(e) in types A and D. We use the same main arguments, namely an induction based on (1): the existence of a suitable birational morphism onto Y, and (2): the surjectivity of section restrictions of an ample line bundle. For us (1) will be obtained thanks to good Weyl group elements, Schubert varieties, Bott-Samelson varieties and several fundamental results from Roger Wolcott Richardson and Tonny Albert Springer on symmetric spaces. On the other hand, (2) follows from a theorem proved by Xuhua He and Jesper Funch Thomsen which states Frobenius splittings of Y-like varieties. It thus implies (2) in positive characteristic and we just have to pass it through the zero : we then merely produce an example of the reduction modulo p method.Our work suggests several avenues of research and could be improved in several directions. It could have implications for the study of the irreducible components of the Steinberg variety and thus for the calculation of the characteristic polynomials. They have been introduced by Anthony Joseph in order to constitute irreducible representations of the Weyl group. Our work also raises the question of its generalization to the C type, the exceptional types and the positive characteristic.