Diagrammes de Voronoï et surfaces évolutives

Voronoi diagrams and evolving surfaces

• Auteur / Autrice : David Lopez
• Direction : Dmitry Sokolov, Nicolas Ray
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire lorrain de recherche en informatique et ses applications
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Debled-Rennesson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Dmitry Sokolov, Nicolas Ray, Maud Marchal, Jean-Michel Dischler, Vincent Nivoliers
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Maud Marchal, Jean-Michel Dischler

Mots clés

Mots clés contrôlés

Triangulation

Échantillonnage (statistique)

Calcul adaptatif

Voronoi, Polygones de

Mots clés libres

Diagrammes de Voronoï

Surfaces évolutives

Échantillonnage

Triangulation de Delaunay

Sampling

Delaunay triangulation

Voronoi diagrams

Evolving surfaces

Résumé

Dans ce mémoire, nous proposons une technique de remaillage adaptée au suivi de surfaces déformables, typiquement la surface libre d'un liquide. Ce domaine surfacique voit sa géométrie et sa topologie évoluer au cours du temps par déplacement de ces sommets aussi, les éléments constitutifs du maillage (arêtes et facettes) sont tous potentiellement contractés ou dilatés et requièrent une ré-évaluation. Nous proposons ici d'exploiter une technique de remaillage fondée sur les diagrammes de Voronoï ; ces derniers offrent une une partition de l'espace et, plus particulièrement, du domaine surfacique considéré. Cette décomposition permet entre autre d'optimiser la répartition d'un ensemble d'échantillons sur ce domaine et d'en définir une triangulation remarquable : la triangulation de Delaunay restreinte. Cette solution de remaillage n'est efficace que lorsque certaines conditions sont réunies. Aussi, le premier travail a consisté à mettre en œuvre une technique d'analyse des configurations de cellules permettant d'assurer que l'objet dual répond à l'appellation de variété triangulée et qu'il est homéomorphe au domaine initial. Pour les configurations moins favorables, nous avons développé une méthode de correction automatique du partitionnement ; elle s'appuie sur la précédente analyse et propose une nouvelle approximation minimale pour chacune des cellules mise en défaut. Un second travail propose d'améliorer la proximité entre le maillage initial et le résultat du remaillage : il s'agit de minimiser l'erreur d'approximation qui est ici exprimée sous forme de différences locales de volume. Ces deux outils sont associés à une stratégie d'échantillonnage qui permet de maintenir une densité d'échantillonnage constante tout au long de la déformation et propose ainsi une nouvelle méthode de suivi d'une surface libre pour la simulation d'écoulement de fluides incompressibles.

In this paper, we propose to address the problem of tracking a deformable surface, typically the free surface of a liquid. This surface domain sees its geometry and topology evolve over time by displacement of its vertices, so the elements of the mesh (edges and facets) are all potentially contracted or expanded and require a remeshing. To do so, we propose to use a technique based on restricted Voronoi diagrams. Voronoi diagrams offer a space partition and, more particularly, a partition of the surface domain considered that allow us, among other things, to optimize the distribution of a sample set among the domain and to define a specific triangulation : the restricted Delaunay triangulation.This remeshing solution is only effective when certain conditions are met. Therefore, the first work consisted in implementing an analysis of the restricted cell configurations to ensure that the dual object meets the definition of triangulated manifold and that it is homeomorphic to the initial domain. For less favourable configurations, we have developed a method to correct the partition automatically. Based on the previous analysis, the method proposes a new minimal approximation for each of the faulty cells, thus we can limit the number of vertices used, contrary to the classical Delaunay refinement.A second work proposes to improve the proximity between the initial mesh and the result of the remeshing : new vertex positions are finely adjusted to minimize the approximation error which is here expressed as local volume differences.These tools are combined with a sampling strategy that allows to maintain a constant sampling density throughout the deformation and thus we propose a new method to track free surfaces in incompressible fluid simulation.