Géométrie et préquantification des variétés 2-plectiques

Geometry and prequantisation of 2-plectic manifolds

• Auteur / Autrice : Gabriel Sevestre
• Direction : Tilman Wurzbacher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 24/06/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Simone Gutt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Tilman Wurzbacher, Konrad Waldorf, Marco Zambon, Camille Laurent-Gengoux, HongLei Lang
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Konrad Waldorf, Marco Zambon

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Variétés symplectiques

Mots clés libres

Multisymplectique

2-Plectique

Préquantification

Multisymplectic

2-Plectic

Prequantisation

Résumé

Une variété 'n-plectique' est un couple constitué d'une variété et d'une (n+1)-forme fermée et non-dégénérée. Ces variétés généralisent le cas symplectique (1-plectique) et donnent un cadre naturel aux théories géométriques des champs classiques (comme les variétés symplectiques sont l'arène naturel de la mécanique classique). Les variétés n-plectiques, déjà étudiées depuis des années 70, sont devenues très importantes à cause de leur rôle dans l'approche dite 'supérieure' à la géométrie et topologie différentielle, c'est-à-dire les structures subtiles, de type catégorique, récemment découvertes. Dans ce projet de thèse, l'accent sera mis sur le cas 2-plectique, notamment sur l'étude des sous-variétés distinguées (Lagrangiennes, co-isotropes, ...), la dynamique des systèmes Hamiltoniens et des symétries des variétés 2-plectiques, ainsi que sur la préquantification de celles-ci.

An ‘n-plectic manifold’ is a couple formed by a manifold and a closed, non-degenerate differentiable form of degree (n+1). These manifolds generalize the symplectic case (1-plectic) and give a natural framework for studying geometric classical field theories (as well as symplectic manifolds give a natural framework for studying classical mechanics). N-plectic manifolds, already studied since the 70’s, became paramount because of their role in the so-called ‘higher’ approach to differential geometry and topology, subtle structures related to category theory, freshly discovered. In this PhD thesis, we will study almost exclusively 2-plectic manifolds, notably distinguished submanifolds (Lagrangian, co-isotropic…), the dynamic of Hamiltonian systems and symetries of 2-plectic manifolds, as well as their prequantisation.