Opérateurs de Dirac pour des modules de dimension finie

Noncubic Dirac Operators for finite-dimensional modules

• Auteur / Autrice : Spyridon Afentoulidis-Almpanis
• Direction : Salah Mehdi
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/02/2021
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan de Lorraine (1997-.... ; Vandoeuvre-lès-Nancy, Metz)
• Jury : Président / Présidente : Pavle Pandz̆̆íć
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Salah Mehdi, Vladimír Souček, Angela Pasquale, Martin Olbrich, Ilka Agricola, Bent Orsted
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Anton Deitmar, Vladimír Souček

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs de Dirac

Représentations de groupes de Lie

Mots clés libres

Théorie de représentations

Groupes de Lie

Algèbres de Lie

Opérateur de Dirac

Representation theory

Lie groups

Lie algebras

Dirac operators

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude des opérateurs de Dirac non-cubiques dans le cadre de la théorie des représentations des groupes de Lie. Après avoir présenté des notions de la théorie de Lie et des algèbres de Clifford, nous rappelons les propriétés principales des opérateurs de Dirac cubiques D introduits par Kostant en 1999. Ces résultats ont rapidement suscité un vif intérêt. En particulier, à la fin des années 2000, Vogan introduit une cohomologie définie par l’opérateur de Kostant et suggère une classification cohomologique des représentations. La cohomologie de Dirac a été calculée pour diverses familles de représentations, telles que les séries discrètes, les modules Aq(>) ou les modules de dimension finie. Pour les modules de dimension finie, la cohomologie de Dirac coïncide avec le noyau de D. Il apparait que l’opérateur de Dirac de Kostant est une version algébrique d’un opérateur différentiel issu d’une famille continue d’opérateurs de Dirac géométriques introduits par Slebarski dans les années 1980 dans le cadre de fibrés au- dessus d’espaces homogènes G/H de groupes compacts. Ce qui distingue l’opérateur de Dirac de Kostant est qu’il est le seul membre de cette famille dont le carré, généralisant une formule de Parthasarathy, diffère de l’opérateur de Casimir à un scalaire près. Cette propriété a des applications importantes en théorie des représentations des groupes de Lie. Le carré des opérateurs de Dirac non-cubiques, i.e des autres membres de la famille d’opérateurs de Slebarski, a été calculé par Agricola qui a également établit des liens précis entre ces opérateurs non-cubiques et la théorie des cordes en physique. Par ailleurs, les opérateurs de Dirac non-cubiques sont des opérateurs différentiels invariants, et donc leur noyau est le siège de représentations (de dimension finie) de groupes compacts. Dans cette thèse nous étudions le noyau des opérateurs de Dirac non-cubiques, et nous montrons, sous certaines conditions sur les espaces homogènes G/H, que ce noyau contient le noyau de l’opérateur de Dirac cubique. Nous obtenons en fait une formule explicite pour le noyau que nous appliquons aux cas des algèbres de Lie classiques et des algèbres de Lie exceptionnelles. Nous constatons que certaines propriétés des opérateurs non-cubiques sont analogues à celles de l’opérateur de Dirac de Kostant, tel que l’indice. Nous déduisons également quelques observations sur les opérateurs de Dirac géométrique non-cubiques.

This thesis focuses on the study of noncubic Dirac operators within the framework of representation theory of Lie groups. After recalling basic notions of Lie theory and Clifford algebras, we present the main properties of cubic Dirac operators D introduced by Kostant in 1999. These results quickly aroused great interest. In particular, in the late 1990’s, Vogan introduced a cohomology defined by Kostant operator D and suggested a cohomological classification of representations. Dirac cohomology was computed for various families of representations, such as the discrete series, Aq(>) modules or finite dimensional representations. It turns out that for finite dimensional modules, Dirac cohomology coincides with the kernel of D. It appears that Kostant’s Dirac operator is an algebraic version of a specific member of a continuous family of geometric Dirac operators introduced by Slebarski in the mid 1980’s in the context of bundles over homogeneous spaces G/H of compact groups. What distinguishes the cubic Dirac operator is that it is the only member of this family whose square, generalizing Parthasarathy’s formula, differs from the Casimir operator up to a scalar. This property has important applications in representation theory of Lie groups. The square of the noncubic Dirac operators, i.e. of the other members of Slebarski’s family, was calculated by Agricola who also established precise links between these noncubic operators and string theory in physics. Actually, noncubic Dirac operators are invariant differential operators, and therefore their kernels define (finite-dimensional) representations of compact groups. In this thesis we study the kernel of noncubic Dirac operators, and we show that, under certain conditions on the homogeneous spaces G/H, the kernel contains the kernel of the cubic Dirac operator. We obtain an explicit formula for the kernel which we apply to the case of classical Lie algebras and of exceptional Lie algebras. We remark that some properties of noncubic operators are analogous to those of Kostant cubic Dirac operator, such as the index. We also deduce some observations on noncubic geometric Dirac operators.