Algorithmes symboliques pour l'étude et la résolution de systèmes d'équations fonctionnelles linéaires

Symbolic methods for studying linear systems of differential and difference equation

• Auteur / Autrice : Ali El Hajj
• Direction : Moulay Abdelfattah Barkatou, Thomas Cluzeau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 17/12/2021
• Etablissement(s) : Limoges
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et Ingénierie des Systèmes, Mathématiques, Informatique (Limoges ; 2018-2022)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : XLIM
• Jury : Président / Présidente : Alin Bostan
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Moulay Abdelfattah Barkatou, Thomas Cluzeau, Guillaume Chèze, Simone Naldi, Vladimir Salnikov
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : George Labahn, Sergei Abramov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations fonctionnelles

Calcul formel

Algorithmes

Mots clés libres

Calcul formel

Équations fonctionnelles

Systèmes pseudo-linéaires

Formes simples

Solutions rationnelles

Implémentation

Computer algebra

Functional equations

Pseudo-linear systems

Simple forms

Rational solutions

Implementation

Résumé

Cette thèse porte sur le développement d’algorithmes symboliques en calcul formel. Nous étudions des systèmes d’équations pseudo-linéaires : une grande classe de systèmes fonctionnels linéaires comprenant les systèmes différentiels, différences et q-différences. La thèse se compose de trois grandes parties. Dans la première partie, nous nous intéressons à l’analyse locale d’un système pseudo-linéaire au voisinage d’une singularité. Nous développons d’abord un algorithme direct pour le calcul de formes simples de systèmes pseudo-linéaires. Alors que des algorithmes directs pour le calcul de formes simples ont déjà été proposés pour les systèmes différentiels et différences, aucun unificateur pour les systèmes pseudo-linéaires n’était connu avant nos travaux. Ensuite, nous montrons comment la réduction à une forme simple peut être utilisée pour calculer efficacement des données locales pour des systèmes pseudo-linéaires. La deuxième partie traite du calcul des solutions de forme fermée. Tout d’abord, nous présentons un algorithme générique et efficace pour le calcul de solutions rationnelles de systèmes pseudo-linéaires du premier ordre. Ensuite, nous développons deux nouveaux algorithmes récursifs pour le calcul de solutions rationnelles et hypergéométriques de systèmes pseudo-linéaires avec un nombre arbitraire de variables. Une contribution importante de cette thèse se pose dans l’implémentation de tous les algorithmes dans Maple dans le cadre de notre package PseudoLinearSystems disponible gratuitement. Dans la dernière partie de la thèse, nous proposons une démonstration de plusieurs procédures contenues dans le package.

This thesis is concerned with the development of symbolic algorithms in Computer algebra. We study systems of pseudo-linear equations: a large class of linear functional systems including differential, difference and q-difference systems. The thesis consists of three major parts. In the first part, we are interested in the local analysis of pseudo-linear system near a singularity. We first develop a direct algorithm for computing simple forms of pseudo-linear systems. Whilst direct algorithms for computing simple forms have been already proposed for differential and difference systems, no unifying one for pseudo-linear systems was known prior to our work. Then we show how the reduction to a simple form can be used to compute efficiently local data for pseudo-linear systems. The second part deals with the computation of closed-form solutions. Firstly, we presenta generic and efficient algorithm for computing rational solutions of first order pseudo-linearsystems. Then we develop two new recursive algorithms for computing rational and hypergeometric solutions of partial pseudo-linear systems with arbitrary number of variables. An important contribution of this thesis arises in the implementation of all the algorithms in Maple as part of our freely available package PseudoLinearSystems. In the last part of the thesis, we provide a demonstration of several procedures contained in the package.