Approximation numérique entropique pour des systèmes de diffusion croisée issus de la physique

Entropic numerical approximations for cross-diffusion systems arising in physics

• Auteur / Autrice : Benoît Gaudeul
• Direction : Clément Cancès, Claire Chainais-Hillairet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 30/08/2021
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 / LPP
• Jury : Président / Présidente : Boris P. Andreïanov
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Virginie Ehrlacher, Hélène Hivert
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jan-Frederik Pietschmann, Francis Filbet

Mots clés

Mots clés contrôlés

Volumes finis, Méthodes de

Équations aux dérivées partielles

Dissipation d'énergie

Simulation par ordinateur

Ions -- Diffusion

Approximation numérique

Mots clés libres

Diffusion croisée

Cross Diffusion

Partial differential equations (PDE)

Numerical analysis

Modelisation

Résumé

Dans cette thèse, on s’intéresse à la modélisation et à l'analyse numérique de systèmes physiques à diffusion croisée. Les modèles considérés décrivent notamment les phénomènes à l’œuvre dans les batteries et lors de la fabrication de panneaux solaires. Dans les deux premiers chapitres, on étudie différents schémas pour un modèle de diffusion des ions adapté aux concentrations élevées et proposé en 2013. Le premier chapitre concerne l’étude du cas simplifié à une inconnue de concentration. On y propose quatre schémas volumes finis à deux points pour lesquels on démontre l’existence de solutions physiquement réalistes, puis la convergence de ces solutions approchées vers une solution faible du problème continu pour deux des quatre schémas. Dans le deuxième chapitre, on s’attaque à une variante sans pression du problème multi-espèces de 2013 avec les deux schémas validés lors du premier chapitre. On y démontre à nouveau l’existence de solutions approchées. Sous réserve de non-disparition du solvant, on démontre enfin la convergence de ces solutions. Les phénomènes de diffusion croisée amènent à définir une notion de coercivité assez minimale. Dans un second temps, on s’intéresse à d’autres mécanismes de dissipation de l’énergie libre. On se penche d'abord sur des variantes au problème étudié dans les ceux premiers chapitres. Ces variantes sont obtenues par des techniques de modélisation variationnelle. Ce choix de modélisation permet un traitement naturel de la pression lorsqu’elle fait partie du modèle. Quelques simulations numériques mettent en exergue les différences de comportements de ces modèles à hautes concentrations. Enfin, le dernier chapitre traite d'un modèle mathématique de diffusion à l’œuvre dans la fabrication de certains panneaux solaires. On y représente un système de diffusion croisée comme une perturbation de l’équation de la chaleur. Le traitement de la perturbation repose explicitement sur la construction d’une concentration d’interface, technique introduite dans les chapitres précédents et qui permet d’étendre des méthodes d’analyse pour les schémas centrés à des schémas plus généraux. Cette technique permet de démontrer la préservation de dérivations discrètes.

In this thesis, we are interested in the modeling and numerical analysis of physical systems with cross diffusion. The models considered describe in particular the phenomena at work in batteries and during the manufacturing of solar panels. In the first two chapters, different schemes for an ion diffusion model suitable for high concentrations and proposed in 2013 are studied. The first chapter focuses on the study of the simplified case with only one concentration unknown. Four two-point finite volume schemes are proposed for which we prove the existence of physically realistic solutions, and the convergence of these approximate solutions to a weak solution of the continuous problem for two of the four schemes. In the second chapter, we tackle a pressureless variant of the 2013 multispecies problem with the two schemes validated in the first chapter. The existence of approximate solutions is proved again. Under the condition of non-disappearance of the solvent, we finally show the convergence of these solutions. The cross diffusion effects lead to define a rather minimal notion of coercivity. In the two following chapters, we consider other mechanisms of free energy dissipation. We first focus on variants of the problem studied in the first part obtained by variational modeling techniques. This choice of modeling allows for a natural treatment of the pressure when part of the model. Some numerical simulations highlight the differences in the behavior of these models at high concentrations. Finally, the last chapter deals with a mathematical model of diffusion at work in the manufacture of some solar panels. We represent a system of cross diffusion as a perturbation of the heat equation. The treatment of the perturbation is explicitly based on the construction of an interface concentration, a technique introduced in previous chapters that allows the extension of analysis methods for centered schemes to more general schemes. This technique allows proving the preservation of discrete derivations.