Two topics in number theory : Hilbert specialization of parametrized varieties and Galois module structure of the square root of the inverse different

Deux sujets en théorie des nombres : spécialisation de Hilbert de variétés paramétrées et structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente

• Auteur / Autrice : Angelo Iadarola
• Direction : Pierre Dèbes, Bouchaïb Sodaïgui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 24/06/2021
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 / LPP
• Jury : Président / Présidente : Bruno Deschamps
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Cassou-Noguès, Sara Checcoli, Ilaria Del Corso
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Lior Bary-Soroker, Nigel Paul Byott

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de classes (mathématiques)

Modules galoisiens

Hypersurfaces

Géométrie algébrique arithmétique

Théorie des nombres algébriques

Mots clés libres

Spécialisation de Hilbert

Irréductibilité de polynômes

Racine carrée de la codifférente

Classes réalisables

Variétés affines

Hilbert specialization

Irreducibility of polynomials

Families of affine varieties

Galois module structure

Square root of the inverse different

Realizable classes

Résumé

Dans cette thèse, nous traitons de deux sujets en théorie des nombres : la spécialisation de Hilbert devariétés paramétrées et la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente d’extensions non abéliennesmétacycliques.La spécialisation de Hilbert est un outil important en Géométrie Arithmétique et en Arithmétique des Corpsqui a généralement été appliqué aux polynômes, donc aux hypersurfaces, et en valeurs scalaires. Dans la premièrepartie de cette thèse, nous étendons cet outil aux idéaux premiers, donc aux variétés affines. Nous donnonsensuite une application à l’étude de l’irréductibilité de l’intersection des variétés. Enfin, encouragé par desrésultats récents, nous considérons la situation plus générale dans laquelle la spécialisation est faite en des valeurspolynomiales, au lieu de valeurs scalaires.Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudierons la structure galoisienne de la racine carrée de la codifférente.Étant donné un corps de nombres K et un groupe Γ, nous considérons une extension de Galois modérémentramifiée N/K à groupe de Galois isomorphe à Γ. Si nous prenons Γ d’ordre impair, nous pouvons définir un idéalfractionnaire de N qu’on appele la racine carrée de la codifférente AN/K. Cet idéal fractionnaire est ambige, il peutdonc être muni de manière naturelle d’une structure de OK[Γ]-module. De plus, c’est un OK[Γ]-module localementlibre. Donc nous pouvons considérer sa classe [AN/K] dans Cl(OK[Γ]), le groupe des classes des OK[Γ]-moduleslocalement libres. Maintenant, soient M un OK-ordre maximal dans l’algèbre semi-simple K[Γ] contenant OK[Γ]et Cl(M) son group des classes. Ainsi, on peut considérer la classe [MOK[Γ] AN/K] dans Cl(M). On note R(A,OK[Γ]) et R(A,M) l’ensemble de toutes les classes [AN/K] et [MOK[Γ] AN/k], respectivement, lorsque N varie parmi toutes les extensions modérément ramifiées de K à groupe de Galois isomorphe à Γ. On conjecture que R(A,OK[Γ]) et R(A,M) sont des sous-groupes de Cl(OK[Γ]) et Cl(M), respectivement. Sous des hypothèsesappropriées, nous prouvons d’abord que R(A,M) est un sous-groupe de Cl(M) lorsque Γ est un groupe cycliqued’ordre un nombre premier impair. Ensuite, quand Γ est un groupe métacyclique non abélien d’ordre impairlq, pour q un premier impair, on définit un sous-ensemble de R(A,M) et, en utilisant le premier résultat, nousdémontrons qu’il est un sous-groupe de Cl(M).

In this thesis, we discuss two topics in number theory: the Hilbert specialization of parametrizedvarieties and the Galois module structure of the square root of the inverse different for metacyclic non-abelianextensions.Hilbert specialization is an important tool in Field Arithmetic and Arithmetic Geometry, which has usuallybeen intended for polynomials, hence hypersurfaces, and at scalar values. In the first part of this thesis, we extendthis tool to prime ideals, hence affine varieties. Then we give an application to the study of the irreducibilityof the intersection of varieties. Finally, encouraged by recent results, we consider the more general situation inwhich the specialization is done at polynomial values, instead of scalar values.In the second part of the thesis we will study the Galois module structure of the square root of the inversedifferent. Given a number field K and a group Γ, we consider a tamely ramified Galois extension N/K of Galoisgroup isomorphic to Γ. If we take Γ of odd order, we can define a fractional ideal of N called the square root of theinverse different AN/K. This fractional ideal is ambiguous, so it can be endowed in a natural way with an OK[Γ]-module structure. Moreover, it is a locally free OK[Γ]-module. So we can consider its class [AN/K] in Cl(OK[Γ]),the class group of the locally free OK[Γ]-modules. Now, let M be a maximal OK-order in the semisimple algebraK[Γ] containing OK[Γ] and Cl(M) its class group. Thus, we can consider the class [MOK[Γ] AN/K] in Cl(M). Denote by R(A,OK[Γ]) and R(A,M) the set of all the classes [AN/K] and [MOK[Γ] AN/K], respectively, as N varies over all the tamely ramified extensions of K whose Galois group is isomorphic to Γ. We conjecture thatR(A,OK[Γ]) and R(A,M) are subgroups of Cl(OK[Γ]) and Cl(M), respectively. Under suitable assumptions, weprove, first, that R(A,M) is a subgroup of Cl(M) when Γ is a cyclic group of order an odd prime number. Then,when Γ is a non-abelian metacyclic group of odd order lq, for q an odd prime, we define a subset of R(A,M)and, using the first result, we prove that it is a subgroup of Cl(M).