Dilatations d'opérateurs et projections L^p

Dilations of operators and L^p-projections

• Auteur / Autrice : Vidal Agniel
• Direction : Catalin Badea
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 08/03/2021
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524 / LPP
• Jury : Président / Présidente : Sophie Grivaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Fricain, Karl-Goswin Grosse-Erdmann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Frédéric Bayart, Andreas Hartmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Banach

Espaces de Hilbert

Espaces Lp

Analyse fonctionnelle

Dilatation, Théorie de la (théorie des opérateurs)

Mots clés libres

Projection orthogonale

Operator Theory

Functional Analysis

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude de classes d'opérateurs. On étudie principalement deux familles différentes de classes d'opérateurs.- Les premières classes étudiées sont des classes d'opérateurs sur des espaces de Hilbert généralisant les classes dollarC_{ho}dollar de Sz.Nagy et Foias. Pour dollar(ho_n)_ndollar une suite de nombres complexes non-nuls, on définit la classe dollarC_{(ho_n)}(H)dollar comme l'ensemble des opérateurs dollarT in mathcal{L}(H)dollar qui possèdent une dollar(ho_n)dollar-dilatation : il existe un espace de Hilbert K et un opérateur unitaire dollarU in mathcal{L}(K)dollar avec dollarH subset Kdollar tels que dollarT^n=ho_n P_H U^n|_Hdollar pour tout n dollargeqdollar 1 (dollarP_H in mathcal{L}(K)dollar étant la projection orthogonale de K sur H). Ces classes peuvent être associées à une fonction holomorphe dollarf_{(ho_n)}dollar ainsi qu'à une quasi-norme dollarw_{(ho_n)}dollar. Nous utilisons les liens entre ces trois objets pour caractériser, décrire, et donner plusieurs propriétés spectrales sur les opérateurs contenues dans ces classes. Nous exhibons de même des relations entre plusieurs classes de cette forme, nous généralisons des résultats connus pour les classes dollarC_{(ho)}dollar, et donnons divers exemples et situations offrant des comportements différents du cas dollarC_{(ho)}dollar. Nous apportons aussi une nouvelle vision géométrique sur un résultat entre des quasi-normes dollarw_{ho}dollar, et nous étendons des calculs de dollarw_{ho}(T)dollar pour des opérateurs T annulés par un polynôme de degré deux.- La deuxième partie principale de cette thèse concerne les classes de L^p-projections. Une L^p-projection sur un espace de Banach X, pour dollar1leq p leq +inftydollar, est une projection P qui vérifie dollar |f|_X = |(|P(f)|_X, |(I-P)(f)|_X) |_{ell_{p}}dollar pour tout f dans X. Cette relation est une version L^p de l'égalité dollar|f|^2=|Q(f)|^2 + |(I-Q)(f)|^2dollar, vérifiée pour les projections orthogonales dans les espaces de Hilbert.Nous nous intéressons aux relations entre les L^p-projections sur un espace de Banach X et celles sur un sous-espace F, sur un quotient X/F, ou sur un sous-espace de quotient G/F. Des caractérisations complètes sont apportées pour des espaces de Banach vérifiant quelques propriétés additionnelles, et selon la valeur de p.Nous introduisons aussi la notion de L^p-projection maximale pour X, c'est-à-dire des L^p-projections définies sur un sous-espace G de X qui ne peuvent pas être étendues comme L^p-projections sur un sous-espace plus grand, et étudions leurs propriétés, en particulier dans le cas de la dimension finie.Nous obtenons de même une caractérisation des L^{infty}-projections sur tous les espaces L^{infty}(Omega) via de nouvelles méthodes, en généralisant ainsi les résultats connus à ce sujet.

This thesis focuses on the study of classes of operators. Two different families of classes of operators are mainly studied.- The first classes we study are classes of operators on Hilbert spaces that generalize the classes dollarC_{ho}dollar of Nagy and Foias. For dollar(ho_n)_ndollar a sequence of non-zero complex numbers, we define the class dollarC_{(ho_n)}(H)dollar as the set of operators dollarT in mathcal{L}(H)dollar that are said to possess a dollar(ho_n)dollar-dilation: there exists a Hilbert space K and a unitary operator dollarU in mathcal{L}(K)dollar with dollarH subset Kdollar and dollarT^n=ho_n P_H U^n|_Hdollar for every dollarn geq 1dollar (dollarP_H in mathcal{L}(K)dollar being the orthogonal projection from K onto its closed subspace H). These classes can be associated with an holomorphic map dollarf_{(ho_n)}dollar as well as a quasi-norm dollarw_{(ho_n)}dollar. These three objects are tied together and we use them to characterize, describe, and give several spectral properties of operators belonging to this class.We give multiple relationships between multiple classes of this form, generalize many results that were known for classes dollarC_{(ho)}dollar, and give several examples and cases that exhibit new behaviours. We also bring a new geometric meaning behind a relationship between quasi-norms dollarw_{ho}dollar and extend the computations of dollarw_{ho}(T)dollar for operators T that are zeroes of a degree two polynomial. The second main part of our study concerns classes of L^p-projections.An L^p-projection on a Banach space X, for dollar1leq p leq +inftydollar, is an idempotent operator P satisfying dollar |f|_X = |(|P(f)|_X, |(I-P)(f)|_X) |_{ell_{p}}dollar for all f in X. This is anL^p version of the equality dollar|f|^2=|Q(f)|^2 + |(I-Q)(f)|^2dollar, valid for orthogonal projections on Hilbert spaces. We are interested into relationships between L^p-projections on a Banach space X and L^p-projections on a subspace F, on a quotient X/F, or on a subspace of a quotient G/F. These questions are given an answer on Banach spaces with additional properties, depending on the value of p. We also introduce a notion of maximal L^p-projections for X, that is L^p-projections defined on a subspace G of X that cannot be extended to L^p-projections on larger subspaces, and study their properties, especially on finite dimensional Banach spaces. A characterization of L^{infty}-projections on every space L^{infty}(Omega) is obtained as well using new methods, generalizing previously known results.