Connexions paraboliques et champ des racines

Parabolic connections and root stacks

• Auteur / Autrice : Amine Laaroussi
• Direction : Niels Borne
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 15/12/2021
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Dimitri Markouchevitch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Emsalem, Viktoria Heu
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Ajneet Dhillon, Matthieu Romagny

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fibrés vectoriels

Géométrie algébrique

Connexions (mathématiques)

Mots clés libres

Connexions paraboliques

Algebraic geometry

Vector bundles

Parabolic connections

Résumé

Le cadre du sujet est la géométrie algébrique, plus précisément on s'intéresse au comportement à l'infini des fibrés vectoriels sur les variétés algébriques munies d'un diviseur à croisements normaux simples. Ceux-ci peuvent être équipés d'une connexion à pôles logarithmiques, d'une part, ou bien d'une structure parabolique, d'autre part. Lorsque ces deux données sont compatibles, on parle de connexion parabolique. Les connexions logarithmiques sont apparues pour la première fois sur les courbes dans les travaux de C.Simpson sur la théorie de Hodge non abélienne, et leurs espaces de modules font toujours l'objet d'intenses recherches.Dans cette thèse, on montre dans un premier temps que les connexions paraboliques peuvent être interprétées, via une correspondance de type Fourier, comme des connexions logarithmiques sur certaines orbifoldes, les champs des racines du diviseur considéré. Cette étape requiert à la fois une définition globale des différentielles logarithmiques due à M.Olsson, et aussi la description des connexions comme sections de l'extension d'Atiyah.Dans un deuxième temps, on définit les connexions fortement paraboliques comme étant celles dont les poids de la structure parabolique sont les morphismes induits par les résidus de la connexion sur les quotients de la filtration définissant la structure parabolique.On prouve ensuite que la connexion sous-jacente à une connexion fortement parabolique est à résidus semi-simples et qu'elle permet de reconstruire la structure parabolique. Ce résultat est inspiré de travaux de Iyer-Simpson.On montre finalement que la condition de forte parabolicité d'une connexion parabolique correspond à l'holomorphie de la connexion logarithmique champêtre correspondante. Ce théorème généralise en dimension quelconque un résultat de Biswas-Majumder-Wong et Loray-Saito-Simpson sur les courbes. On traduit finalement le théorème de reconstruction dans le cadre des champs algébriques.

The framework of the subject is algebraic geometry, more precisely we are interested in the behaviour at infinity of vector bundles on algebraic varieties endowed with a simple normal crossings divisor. These can be equipped with a logarithmic connection, on the one hand, or with a parabolic structure, on the other hand. If these two data are compatible, the connection is called parabolic. Logarithmic connections first appeared on curves in the work of C.Simpson on nonabelian Hodge theory, and their moduli spaces are still object of active research.In this thesis, we first show that parabolic connections can be interpreted, via a Fourier-like correspondence, as logarithmic connections on certain orbifolds, the stacks of roots of the divisor. This step requires both a global definition of logarithmic differentials due to M.Olsson, and also the description of the connections as sections of the Atiyah extension.In a second step, we define strongly parabolic connections as those whose weights of the parabolic structure are the morphisms induced by the residues of the connection on the quotients of the filtration defining the parabolic structure.We then prove that the connection underlying a strongly parabolic connection has semi-simple residues and that it allows the reconstruction of the parabolic structure. This result is inspired by the work of Iyer-Simpson.We finally show that the strong parabolicity condition of a parabolic connection corresponds to the holomorphy of the corresponding logarithmic stacky connection. This theorem generalises in any dimension a result of Biswas-Majumder-Wong and Loray-Saito-Simpson on curves. We finally translate the reconstruction theorem into the framework of algebraic stacks.