Solutions des équations différentielles stochastiques : analyse asymptotique par la méthode de Malliavin-Stein et estimation statistique

Solutions to stochastic equations : asymptotic analysis via Malliavin-Stein method and applications to statistics

• Auteur / Autrice : Obayda Assaad
• Direction : Ciprian A. Tudor
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 28/10/2021
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Fabienne Comte
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Antoine Ayache
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mark Podolskij, Anthony Réveillac

Mots clés

Mots clés contrôlés

Intégrales stochastiques

Équation de la chaleur

Équations d'onde

Bruit aléatoire, Théorie du

Estimation de paramètres

Malliavin, Calcul de

Équations différentielles stochastiques

Mots clés libres

Méthode de Malliavin-Stein

Processus de Hermite

Stochastic differential equations

Malliavin-Stein Method

Estimation

Résumé

Cette thèse porte essentiellement sur une étude analytique et statistique des équations différentielles stochastiques (EDS). La grande souplesse du Calcul de Malliavin et de la méthode de Stein-Malliavin permet de considérer un large panorama d’EDS. Toute la thèse se placera dans cette vision variationnelle et asymptotique. Ainsi seront considérées les équations différentielles aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) suivantes : l’équation des ondes avec un bruit gaussien fractionnaire en temps et blanc en espace, l’équation de Burger avec un bruit blanc en temps et espace, l’équation de la chaleur fractionnaire avec un bruit blanc en temps et colorié en espace et finalement les équations de Langevin avec un bruit non gaussien de type Hermite.Dans un premier temps, nous étudierons les variations quadratiques de l’équation des ondes par une décomposition en ondelettes de la solution qui permet un contrôle de régularité ainsi que les variations quadratiques du processus de Hermite-Ornstein–Uhlenbeck, solution de l’équation de Langevin perturbée par le processus de Hermite, pour obtenir des résultats asymptotiques de convergence et de contrôle en loi. Ces résultats nous permettrons de définirun estimateur pour le paramètre de Hurst et d’étudier ses propriétés. Par ergodicité nous donnerons aussi un estimateur pour le paramètre de diffusion.Dans un second temps nous décomposerons la solution de l’équation de Burger en somme de deux processus, l’un qui s’identifie avec la solution de l’équation de la chaleur linéaire et l’autre correspondant au terme non linéaire. Nous montrerons par une analyse fine du noyau et de sa dérivée que ce dernier est plus régulier et qu’ainsi il n’affecte pasles p-variations de la solution. En regardant la solution en des temps discrets ou en des points discrets nous pourrons alors estimer le paramètre de drift par l’étude des variations d’ordre deux (en espace) et d’ordre quatre (en temps). Dans chaque cas nous étudierons la consistance forte et son erreur pour la convergence Lp.La troisième partie portera sur l’étude asymptotique de la moyenne spatiale sur la sphère de la solution de l’équation de la chaleur fractionnaire avec un bruit multiplicatif général, qui inclut le très populaire bruit blanc temps-espace et le non moins populaire bruit blanc en temps et colorié en espace dont la covariance spatiale est donnée par le noyau deRiesz. On montre que correctement renormalisée, la moyenne converge en variation totale vers une loi gaussienne et qu’elle vérifie un théorème central limite fonctionnel.Finalement, la dernière partie est consacrée à l’étude de l’intégrale stochastique par rapport au processus de Hermite généralisé, processus non gaussien dont le coefficient d’auto-similarité est défini sur tout l’intervalle (0, 1). Nous pouvons définir une intégrale de type Wiener et Riemann-Stieljes, ce qui permet de regarder le processus de Hermite-Ornstein–Uhlenbeck généralisé et de montrer que ces deux intégrales coïncident dans ce cas.Nous montrerons également que la solution converge (dans un sens à définir) quand le drift tend vers zéro vers le processus de Hermite généralisé.

This thesis focuses on an analytical and statistical study of stochastic differential equations (SDE). The great flexibility of the Malliavin calculus and the Stein-Malliavin method allows a large panorama of EDS to be considered. All the thesis will be placed in this variational and asymptotic vision. Thus the following stochastic partial differential equations (SPDE) will be considered: the wave equation with fractional Gaussian noise in time and white in space, Burger's equation with white noise in time and space, the fractional heat equation with a white noise in time and colored in space and finally the Langevin equation with a generalized non-Gaussian Hermite noise. First, we will study the quadratic variations of the equation of waves by a wavelet decomposition of the solution which allows a regularity check as well as the quadratic variations of the Hermite-Ornstein–Uhlenbeck process, solution of the Langevin equation disturbed by the Hermite process, to obtain asymptotics results for the convergence and control in law. These results will allow us to define an estimator for the Hurst parameter and to study its properties. By ergodicity we will also give an estimator for the diffusion parameter. Secondly, we will decompose the solution of Burger's equation into sum of two processes, one that identifies with the solution of the heat equation linear and the other corresponding to the nonlinear term. We will show by an analysis of the kernel and its derivative that the latter is more regular and thus does not affect the p-variations of the solution. By looking at the solution in discrete times or in discrete points we can then estimate the drift parameter by studying the variations of order two (in space) and of order four (in time). In each case we will study the strong consistency and its error for Lp convergence. The third part will focus on the asymptotic study of the spatial mean on the sphere of the solution of the fractional heat equation with a general multiplicative noise, which includes the very popular time-space white noise and the equally popular white noise white in time and colored in space, the spatial covariance of which is given by the kernel of Riesz. We show that correctly renormalized, the mean converges in total variation towards a Gaussian law and that it satisfies a functional central limit theorem. Finally, the last part is devoted to the study of the stochastic integral with respect to the generalized Hermite process, a non-Gaussian process whose self-similarity index is defined over the entire interval (0, 1). We can define an integral of the Wiener and Riemann-Stieljes type, which allows us to look at the generalized Hermite- Ornstein – Uhlenbeck and to show that these two integrals coincide in this case (where it makes sense to say that). We will also show that the solution converges (in a sense to be defined) when the drift tends zero towards the generalized Hermite process.