Problèmes d'estimation dans des modèles de régression non paramétrique et de Poisson

Some estimation problems in nonparametric regression and Poisson regression models.

• Auteur / Autrice : Bilel Bousselmi
• Direction : Jean-François Dupuy, Abderrazek Karoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs Interactions
• Date : Soutenance le 06/12/2021
• Etablissement(s) : Rennes, INSA en cotutelle avec Faculté des sciences de Bizerte (Tunisie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Michel Loubès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Dupuy, Abderrazek Karoui, Jean-Michel Loubès, Fabienne Comte, Agathe Guilloux, Valérie Garès
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Fabienne Comte, Agathe Guilloux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Efficacité asymptotique (statistique)

Simulation

Observations manquantes (statistique)

Analyse de régression

Analyse des données

Mots clés libres

Régression non paramétrique

Régression linéaire fonctionnelle

Analyse des données de comptage

Données manquantes

Censure à droite

Propriétés asymptotiques

Simulations

Nonparametric regression

Functional linear regression

Count data analysis

Missing data

Right Censorship

Asymptotic properties

Simulations

Résumé

Cette thèse a deux contributions principales. La première contribution porte sur l'étude des estimateurs basés sur la projection aléatoire pour résoudre des problèmes de régression non paramétrique ou de régression fonctionnelle linéaire. Plus précisément, les noyaux de projection que nous considérons dans la construction de nos estimateurs sont donnés par le noyau des polynômes de Gegenbauer, Christoffel-Darboux et le noyau de convolution Sinc. En particulier, nous fournissons des analyses d'erreur et de convergence des estimateurs proposés sous certaines hypothèses de régularité sur la classe des fonctions de régression. Nous étudions également un estimateur basé sur la projection orthogonale pour une résolution stable d'un problème de régression fonctionnelle linéaire. Ce problème est résolu sous l'hypothèse habituelle que la fonction de pente inconnue à estimer est bien approximée par sa projection sur un sousespace de dimension finie d'un espace de Hilbert. Enfin, nous menons une étude de simulation pour évaluer les propriétés de ces estimateurs. La deuxième contribution de ce travail concerne la régression de poisson censurée en présence d'indicatrices de censure manquantes. Notons que la régression de Poisson est largement utilisée pour étudier la relation entre un ensemble des covariables et une variable de comptage. Nous considérons la situation où la variable de comptage observée peut être censurée aléatoirement à droite (par exemple, dans une étude sur l'utilisation des soins de santé, les patients déclarant leur nombre de visites chez un médecin comme « 8 visites ou plus » fournissent un nombre censuré, c'est-à-dire, une borne inférieure sur le vrai nombre non observé). La littérature sur l'analyse des données de comptage censuré contient déjà plusieurs approches pour traiter de telles données, nous supposons en outre que les indicatrices de censure, qui indiquent si un comptage observé est censuré ou non, sont manquantes pour certains individus de l'échantillon. Pour cette deuxième contribution, nous proposons plusieurs méthodes d'estimation : regression calibration, imputation multiple et estimation AIPW (pondération par l'inverse de la probabilité de sélection augmentée). La consistance, la normalité asymptotique et l'estimation de la variance de nos estimateurs sont rigoureusement établies sous des conditions de régularité appropriées. Une étude de simulation comparant ces différentes méthodes est décrite.

This thesis has two main contributions. The first contribution deals with study of random projection based estimators for solving nonparametric regression or linear functional regression problems. More precisely, the projection kernels we consider in the construction of our estimators are given by the Gegenbauer polynomials Christoffel-Darboux kernel and the convolution Sinc- kernel. In particular, we provide error and convergence analyses of the proposed estimators under some regularity assumptions on the class of regression functions. Also, we study an orthogonal projection based estimator for the fast and stable solution of a linear functional regression (LFR) problem. This problem is solved under the usual assumption that the unknown slope function to be estimated is well approximated by its projection on a finite dimensional subspace of a Hilbert space. Finally, we conduct a simulation study to assess finite-sample properties of these estimators. The second contribution of this work deals with censored count data regression with missing censoring information. Note that Poisson regression is widely used to investigate the relationship between covariates and acountresponse. We consider the situation where the count of interest is randomly right-censored (for example,in a study of healthcare utilization, patients reporting their number of visits to a doctor as « 8 visits or more » provide a censored count, that is, a lower bound on the true unobserved count). The literature on censored count data analysis already contains several approaches for handling such data, we additionally suppose that the censoring indicator, which tells whether an observed count is censored or not, is missing for some subjects. For this second contribution, we propose several estimators based on the regression calibration, multiple imputation and augmented inverse probability weighting methods. Consistency, asymptotic normality and variance estimation of our estimators are rigorously established under appropriate regularity conditions. Simulation experiments are carried out to investigate the finite sample behaviour and relative performance of the proposed estimates.