Thèse soutenue

Descriptions calculatoires de catégories supérieures
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Auteur / Autrice : Simon Forest
Direction : Samuel MimramYves Guiraud
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Informatique
Date : Soutenance le 08/01/2021
Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École polytechnique (Palaiseau, Essonne ; 1795-....)
Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau, Essonne)
Jury : Président / Présidente : Dominic Verity
Examinateurs / Examinatrices : Samuel Mimram, Yves Guiraud, Tom Hirschowitz, Ross Street, Jamie Vicary, François Métayer, Victoriya Ozornova
Rapporteurs / Rapporteuses : Tom Hirschowitz

Résumé

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Les catégories supérieures sont des structures algébriques constituées de cellules de différentes dimensions et équipées d'opérations de composition. Elles ont trouvé plusieurs applications en mathématiques (en particulier, dans le domaine de la topologie algébrique) et en informatique théorique. Ce sont des structures notoirement complexes, dont la manipulation est technique et sujette aux erreurs. Le but de cette thèse est d'introduire plusieurs outils informatiques pour les variantes strictes et semi-strictes des catégories supérieures qui facilitent l'étude de ces objets. Afin de répresenter les catégories supérieures par des données finies, de sorte que ces dernières puissent être transmises comme entrée à un programme, on utilise la structure de polygraphe, initialement introduite par Street et Burroni pour les catégories strictes, et généralisée par Batanin à toute théorie algébrique de catégorie supérieure, qui permet de présenter des catégories supérieures par des systèmes de générateurs. Le premier problème abordé par cette thèse est celui du problème du mot sur les catégories strictes, qui consiste à déterminer si deux composées formelles de cellules d'une catégorie stricte représentent la même cellule. On donne une solution implémentable et relativement efficace pour ce problème en améliorant la procédure de décision initialement donnée par Makkai. Ensuite, nous traitons les formalismes pour les diagrammes de recollement. Ces derniers permettent de représenter efficacement les cellules de catégories strictes en utilisant des structures ensemblistes et pour lesquels une implémentation efficace est désirable. On étudie en particulier les trois principaux formalismes qui ont été introduits jusqu'ici : les complexes de parité de Street, les schémas de recollement de Johnson et les complexes dirigés augmentés de Steiner. Notre étude révèle que les axiomatiques des deux premiers est défectueuse, ce qui motive l'introduction d'une nouvelle structure, appelée complexe sans torsion, dont les axiomes ont de bonnes propriétés et généralisent ceux des autres formalismes. On montre que cette nouvelle structure est adéquate pour représenter informatiquement les catégories strictes en en donnant une implémentation. Pour finir, on considère le problème des présentations cohérentes de structures algébriques exprimées dans les catégories faibles de dimension 3, ces dernières étant connues pour être équivalentes aux catégories de Gray. En s'inspirant d'un résultat important de Squier dans le context des monoïdes, on adapte les résultats classiques de la théorie de la réécriture au contexte des catégories de Gray et relions la cohérence de présentations de catégories de Gray à la confluence de branchements critiques d'un système de réécriture associé. Avec ce résultat, nous déduisons une procédure semi-automatique pour produire des présentations cohérentes de catégories de Gray, et nous l'appliquons sur plusieurs exemples.