Analyse de problèmes électromagnétiques harmoniques en temps dans des milieux anisotropes elliptiques

Analysis of time-harmonic electromagnetic problems in elliptic anisotropic media

• Auteur / Autrice : Damien Chicaud
• Direction : Patrick Ciarlet, Axel Modave
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 07/12/2021
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau ; 1970 -....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Propagation des Ondes : Étude Mathématique et Simulation

Mots clés

Mots clés contrôlés

Maxwell, Équations de

Éléments finis, Méthode des

Électromagnétisme

Mathématiques

Mots clés libres

Équations de Maxwell

Milieux anisotropes

Ondes électromagnétiques

Éléments finis

Étude de régularité

Décomposition de domaine

Maxwell equations

Anisotropic media

Electromagnetic waves

Finite elements

Regularity analysis

Domain decomposition

Résumé

La simulation numérique de problèmes électromagnétiques dans des configurations physiques complexes est largement utilisée pour de nombreuses applications scientifiques et industrielles, telles que la conception de métamatériaux optiques ou l'étude des plasmas froids. L'analyse mathématique et numérique des problèmes de Maxwell est bien connue dans des contextes physiques simples, où les paramètres du milieu sont isotropes. Des résultats en milieux anisotropes existent, mais se limitent généralement au cas des tenseurs réels symétriques (ou complexes hermitiens) définis positifs. Cependant, pour certains milieux plus complexes, les problèmes ne sont pas couverts par la théorie standard. De nouveaux outils mathématiques doivent donc être développés pour analyser ces problèmes.Dans cette thèse, nous analysons des problèmes électromagnétiques harmoniques en temps pour une classe générale de tenseurs matériels anisotropes, appelés elliptiques. Nous développons un cadre fonctionnel étendu adapté à ces problèmes avec conditions limites de Dirichlet, Neumann ou Robin. Dans le cas de Robin, un intérêt particulier est porté à la caractérisation des espaces pour les traces de Robin. Nous étudions la régularité de la solution et de son rotationnel, et donnons des éléments d'analyse numérique. Dans la perspective de l'utilisation de méthodes de décomposition de domaine (DDM) pour une résolution accélérée, nous proposons et étudions différentes formulations décomposées, en nous focalisant sur leurs espaces fonctionnels et leur équivalence avec le problème global. Quelques expérimentations numériques sur la DDM complètent ce travail.

The numerical simulation of electromagnetic problems in complex physical settings is a trending topic which conveys many scientific and industrial applications, such as the design of optical metamaterials, or the study of cold plasmas. The mathematical and numerical analysis of Maxwell problems is wellknown in simple physical contexts, when the material parameters are isotropic. Some results in anisotropic media exist, but they generally tend to focus on the case where the material tensors are real symmetric (or complex) Hermitian) definite positive. However, problems in more complex media are not covered by the standard theory. Therefore, new mathematical tools need to be developped to analyse thses problems. This thesis aims at analysing time-harmonic electromagnetic problems for a general class of complex anisotropic material tensors. These are called ellopptic materials. We derive an extended functional framework well-suited for these anisotropic problems, generalizing well-known results. We study the well-posedness of Maxwell boundary value problems for Dirichlet, Neumann, and Robin boundary conditions. For the Robin case, the characterization of appropriate function spaces for Robin traces is addressed. The regularity of the solution and its curl is studied, and elements of numerical analysis for edge finite elements are provided. In the perspective of the use of Domain Decomposition Methods (DDM) for accelerated numerical computing, various decomposed formulations are proposed and studied, focusing on their right meaning in terms of function spaces and equivalence with the global problem. These results are complemented with some numerical DDM experimentations in anisotropic media.