Thèse soutenue

Analyse de polarisation et Optimisation géométrique

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Auteur / Autrice : Jeanne Lefevre
Direction : Nicolas Le BihanJonathan Manton
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Signal, image, paroles, télécoms
Date : Soutenance le 07/12/2021
Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes en cotutelle avec University of Melbourne
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale électronique, électrotechnique, automatique, traitement du signal (Grenoble ; 199.-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Grenoble Images parole signal automatique (2007-....)
Jury : Président / Présidente : Olivier Michel
Examinateurs / Examinatrices : Jonathan Manton, Guillaume Ginolhac, Audrey Giremus, Pierre Chainais, Salem Said
Rapporteurs / Rapporteuses : Guillaume Ginolhac, Audrey Giremus

Mots clés

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Résumé

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Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons le concept de polarisation des signaux bivariés en comparant plusieurs approches présentes dans la littérature. En particulier, une représentation complexe et une représentation vectorielle sont identifiées. Nous comparons ces représentations et mettons en évidence le fait qu'elles induisent des différences de traitement. Nous consacrons une partie à la définition de la polarisation instantanée, dans un esprit similaire à celui de la définition de la fréquence instantanée. Nous argumentons alors que la représentation des signaux joue un rôle fort dans l'identification de certains paramètres instantanés. En guise d'exemple, nous explorons plus en détail une représentation de la polarisation via un plongement des signaux complexes dans l'algèbre des quaternions. Ce travail est le fruit d'une thèse qui nous précède de peu. Après avoir constaté les facilités d'écriture permises par le plongement quaternionique, nous donnons des explications théoriques au succès d'une telle entreprise. A cette fin, une approche algébrique de la transformée de Fourier est proposée, puis le lien entre algèbre des quaternions et algèbres géométriques est établi. Les algèbres géométriques fournissent un nouveau type d'objet: les spineurs dont l'intérêt dans la représentation de la polarisation est mis en évidence. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous explorons à travers les signaux trivariés l'extension de l'analyse de la polarisation aux signaux n-variés et formulons une analyse basée sur l'étude d'invariants. Nous comprendrons les transformations de polarisation comme l'action du groupe U(n) sur l'espace des matrices de covariance possibles pour un signal trivarié. Dans la deuxième partie, nous proposons une méthode de résolution de problèmes d'optimisation particuliers du type estimation de densité. La forme du problème est connue en avance mais le problème particuler dépend d'un vecteur d'observation qui change à chaque acquisition. Nos fonctions sont définies sur des variétés différentiables, et sous certaines conditions sur la forme du problème d'optimisation, nous montrons que des solutions pré-calculées peuvent servir de base pour estimer une solution en un temps prévisible. Cette partie fait appel à des connaissances en géométrie différentielles dont un tableau est dressé en premier chapitre. Nous rappelons également quelques résultats sur la convergence des méthodes de Newton et donnons un bref aperçu des méthodes homotopiques. La fin de ce chapitre illustre les notions introduites sur l'exemple du quotient de Rayleigh, une fonction dont les points critiques sont les vecteurs propres d'une certaine matrice symétrique.