Coalescence métrique des graphes homogènes et inhomogènes

Metric coalescence of homogeneous and inhomogeneous random graphs

• Auteur / Autrice : Nicolas Frilet
• Direction : Vincent Beffara, Raphaël Rossignol
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/12/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Grégory Miermont
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bénédicte Haas, Marie Albenque, Emmanuel Jacob, Didier Piau, Christina Goldschmidt
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Nicolas Curien, Jean-François Marckert

Mots clés

Mots clés contrôlés

Graphes aléatoires

Mots clés libres

Coalescence mutiplicative

Percolation

Graphes aléatoires

Arbres continus aléatoire

Multiplicative coalescence

Percolation

Random graph

Continuum random tree

Résumé

On étudie les limites d’échelles de graphes aléatoires construits par coalescence, dont les représentants les plus classiques sont les graphes aléatoires d’Erdős–Rényi. Il a été montré que ces graphes, sous certaines hypothèses de criticités, convergent en limite d’échelle vers les membres d’une famille de lois limites. De plus, cette convergence se renforce en la convergence de tout le processus de coalescence. Les limites consistent en des processus de coalescence éternels sur des collections infinies d’espaces métriques mesurés compacts continus, tous ces processus ayant le même noyau de transition, qu'on appelle le coalescent multiplicatif métrique. La loi d'un processus éternel ayant ce noyau est appelée une loi d'entrée. Dans cette thèse, on cherche à caractériser le coalescent multiplicatif métrique en termes de lois d'entrées extrémales. Pour ce faire on exprime une loi d'entrée comme la coalescence d’une condition initiale loin dans le passé. On cherche donc à comprendre d’une part le comportement d’une loi d'entrée loin dans le passé, et les conditions sous lesquelles la coalescence d’une suite de conditions initiales de plus en plus lointaine converge vers une loi limite connue. Dans ce cadre, on a réussi à montrer que lorsque le graphe considéré est suffisamment homogène, cette convergence a lieu, ce qui montre que les coalescents homogènes sont extrémaux. Pour obtenir ceci, on calcule la loi du graphe limite conditionnellement à la présence d’une composante donnée, ce qui est un résultat intéressant en soi. En outre, la convergence dans le cas homogène possède des applications à la théorie de la sensibilité au bruit. Pour établir ces démonstrations, on développe divers outils d’apparence relativement technique, mais qui permettent de manipuler plus aisément la loi limite : on montre que la convergence en limite d’échelle s’accompagne de la convergence de familles de réels indexées par les sommets, on montre qu’on peut approximer le graphe limite par la coalescence d’un nombre finis d’espaces métriques, et on montre que pour un coalescent éternel, la borne de masse inférieure est nécessairement vérifiée en probabilité, ce qui permet de transformer des convergences pour la topologie Gromov-faible en convergence pour la topologie Gromov-Hausdorff-Prokhorov. Enfin, on présente une série de résultats partiels dont le but serait à terme la caractérisation complète de la frontière d'entrée du coalescent multiplicatif métrique.

We study the scaling limits of random graphs constructed by coalescence, the most classical of which are the Erdős – Rényi random graphs. It has been shown that these graphs, under certain criticality assumptions, converge in the scaling limit towards the members of a family of limit distributions. Moreover, this convergence can be strengthened to the convergence of the whole coalescence process. The limit process consists in an eternal coalescence of an infinite collection of continuous compact measured metric spaces, all these processes admitting the same transition kernel which we call the metric multiplicative coalescent. The distribution of an eternal stochastic process with this kernel is called an entrance law. In this thesis, we try to characterize this family of distributions in terms of extreme entrance laws. To do this we see a limit distribution as the coalescence from an initial condition far in the past. We therefore seek to understand on one hand the behavior of an entrance law far in the past and on the other hand the conditions under which the coalescence of an increasingly far in the past sequence of initial conditions converges to a known limit distribution. In this context, we showed that when the random graph considered is sufficiently homogeneous, this convergence takes place, which shows that homogeneous coalescents are extreme. To obtain this, we compute the distribution of the limiting random graph conditionally on the presence of a given component, which is an interesting result in itself. In addition, convergence in the homogeneous case has applications to noise sensitivity theory.To establish these demonstrations, we develop various technical tools which allow to handle the limit distribution more easily: we show that the scaling limit convergence happens jointly with the convergence of families of real numbers indexed by the vertices. We show that we can approximate the limiting random graph by the coalescence of a finite number of measured metric spaces, and we show that for an eternal coalescent, the lower mass bound is necessarily satisfied in probability, which allows to transform convergences for the Gromov-weak topology into convergences for the Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology.Finally, we present some partial results whose ultimate goal would be the complete characterization of the family of entrance laws of the metric multiplicative coalescent.