Thèse soutenue

Coalescence métrique des graphes homogènes et inhomogènes

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Auteur / Autrice : Nicolas Frilet
Direction : Vincent BeffaraRaphaël Rossignol
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 06/12/2021
Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
Jury : Président / Présidente : Grégory Miermont
Examinateurs / Examinatrices : Bénédicte Haas, Marie Albenque, Emmanuel Jacob, Didier Piau, Christina Goldschmidt
Rapporteurs / Rapporteuses : Nicolas Curien, Jean-François Marckert

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Résumé

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On étudie les limites d’échelles de graphes aléatoires construits par coalescence, dont les représentants les plus classiques sont les graphes aléatoires d’Erdős–Rényi. Il a été montré que ces graphes, sous certaines hypothèses de criticités, convergent en limite d’échelle vers les membres d’une famille de lois limites. De plus, cette convergence se renforce en la convergence de tout le processus de coalescence. Les limites consistent en des processus de coalescence éternels sur des collections infinies d’espaces métriques mesurés compacts continus, tous ces processus ayant le même noyau de transition, qu'on appelle le coalescent multiplicatif métrique. La loi d'un processus éternel ayant ce noyau est appelée une loi d'entrée. Dans cette thèse, on cherche à caractériser le coalescent multiplicatif métrique en termes de lois d'entrées extrémales. Pour ce faire on exprime une loi d'entrée comme la coalescence d’une condition initiale loin dans le passé. On cherche donc à comprendre d’une part le comportement d’une loi d'entrée loin dans le passé, et les conditions sous lesquelles la coalescence d’une suite de conditions initiales de plus en plus lointaine converge vers une loi limite connue. Dans ce cadre, on a réussi à montrer que lorsque le graphe considéré est suffisamment homogène, cette convergence a lieu, ce qui montre que les coalescents homogènes sont extrémaux. Pour obtenir ceci, on calcule la loi du graphe limite conditionnellement à la présence d’une composante donnée, ce qui est un résultat intéressant en soi. En outre, la convergence dans le cas homogène possède des applications à la théorie de la sensibilité au bruit. Pour établir ces démonstrations, on développe divers outils d’apparence relativement technique, mais qui permettent de manipuler plus aisément la loi limite : on montre que la convergence en limite d’échelle s’accompagne de la convergence de familles de réels indexées par les sommets, on montre qu’on peut approximer le graphe limite par la coalescence d’un nombre finis d’espaces métriques, et on montre que pour un coalescent éternel, la borne de masse inférieure est nécessairement vérifiée en probabilité, ce qui permet de transformer des convergences pour la topologie Gromov-faible en convergence pour la topologie Gromov-Hausdorff-Prokhorov. Enfin, on présente une série de résultats partiels dont le but serait à terme la caractérisation complète de la frontière d'entrée du coalescent multiplicatif métrique.