Aspects combinatoires et algorithmiques de la Reconfiguration

Combinatorial and Algorithmic aspects of Reconfiguration

• Auteur / Autrice : Valentin Bartier
• Direction : Myriam Preissmann, Nicolas Bousquet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et informatique
• Date : Soutenance le 29/11/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Sciences pour la conception, l'optimisation et la production (Grenoble, Isère, France)
• Jury : Président / Présidente : Nadia Brauner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Florian Sikora, Frédéric Havet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean Cardinal, Sebastian Siebertz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Reconfiguration (informatique)

Coloriage de graphes

Mots clés libres

Algorithmes

Coloration de graphes

Reconfiguration

Ensemble stables

Complexité paramétrée

Algorithms

Graph coloring

Reconfiguration

Independent sets

Parameterized complexity

Résumé

Un problème de reconfiguration combinatoire consiste à trouver une transformation étape par étape entre deux solutions réalisables d'un problème d'optimisation, appelé problème source, de telle sorte que toutes les solutions intermédiaires soient également réalisables. Chaque étape de la transformation consiste à appliquer une modification atomique sur la solution courante. Une telle modification est appelée opération de reconfiguration.Le graphe de reconfiguration est le graphe dont les sommets sont les solutions réalisables du problème source, et tel que deux solutions sont adjacentes si et seulement si l'une peut être obtenue à partir de l'autre en appliquant exactement une opération de reconfiguration.Dans cette thèse, nous étudions deux questions fondamentales en reconfiguration. La première est la question de l’accessibilité : étant donné une solution initiale réalisable, une solution cible réalisable, et une opération de reconfiguration, est-il possible de transformer la solution initiale en la solution cible en appliquant successivement l'opération de reconfiguration donnée, et de telle sorte que chaque solution intermédiaire soit également réalisable ? De manière équivalente, existe-t-il un chemin entre la solution initiale et la solution cible dans le graphe de reconfiguration? On dit qu’une telle transformation est valide.La deuxième question que nous étudions concerne le diamètre du graphe de reconfiguration : Supposons que le graphe de reconfiguration soit connecté, en d'autres termes qu'il existe une transformation valide entre deux solutions réalisables quelconques du problème source. Quel est le diamètre du graphe de reconfiguration ? De manière équivalente, quel est le nombre maximum d'opérations de reconfiguration à appliquer pour transformer une solution en une autre ?Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les problèmes de reconfiguration sur les graphes. Nous étudions d'abord le problème de recoloration de graphe, dans lequel on considère un graphe et des colorations propres de ce graphe, et où l'opération de reconfiguration consiste à modifier la couleur d'un sommet. Le nombre de couleurs qui peuvent être utilisées dans une transformation est limité. Nous nous concentrons sur la recherche de transformations de taille linéaire en la taille du graphe donné. Nous considérons en particulier les graphes chordaux et les graphes de largeur arborescente deux, et améliorons les meilleures bornes connues sur le nombre de couleurs nécessaires pour obtenir de telles transformations dans ces graphes.Nous considérons ensuite problème de reconfiguration d'ensembles indépendants. Un ensemble indépendant est vu comme un ensemble de jetons qui sont placés sur les sommets de l’indépendant. Nous considérons deux opérations de reconfiguration. La première est l'opération de « token jumping » : un jeton peut être déplacé n'importe où sur le graphe à chaque étape. La seconde est l'opération de « token sliding »: un jeton ne peut se déplacer que vers un voisin du sommet sur lequel il se trouve.Nous nous concentrons sur la complexité du problème d’accessibilité défini par ces opérations. Nous prouvons d'abord que le problème est PSPACE-complet sur les graphes H-free pour les deux opérations, à moins que H n'appartienne à un ensemble fini de graphes mathcal{H} que nous décrivons, et nous étudions la complexité du problème sur les graphes H-free pour un certain H dans mathcal{H}. Nous étudions ensuite l'impact de l’épaisseur des graphes sur la complexité paramétrée du problème pour les deux opérations, et donnons une limite précise entre tractabilité et intractabilité dans les graphes bipartis et des sous-classes de ces graphes. Nous introduisons ensuite un nouveau modèle que nous appelons « galactic token sliding » que nous utilisons pour montrer que le problème d’accessibilité avec token sliding est FPT paramétré par la taille des ensembles indépendants sur les graphes de degré borné.

Combinatorial reconfiguration problems consist in finding step-by-step transformations between two feasible solutions of an optimization problem, called the source problem, in such a way that all intermediate solutions are also feasible. Each step of the transformation consists in applying an atomic modification of the current solution. Such a modification is called a reconfiguration operation. Reconfiguration problems model dynamic situations where a given solution already in place has to be modified for a more desirable one while maintaining some particular properties throughout the transformation.Given a source problem and a reconfiguration operation we can define the reconfiguration graph as follows: it is the graph which vertex set is the set of all feasible solutions of the source problem, and such that two solutions are adjacent if and only if one can be obtained from the other by applying exactly one reconfiguration operation.In this thesis, we study two fundamental questions in reconfiguration. The first one is the reachability question: given an initial feasible solution of a problem, a target feasible solution of the same problem, and a reconfiguration operation, is it possible to transform the initial one into the target one by successively applying the given reconfiguration operation, and such that each intermediate solution is also feasible? Equivalently speaking, is there a path between the initial solution and the target solution in the corresponding reconfiguration graph? Such a transformation is called a valid transformation.The second question we study concerns the diameter of the reconfiguration graph: Suppose that the reconfiguration graph is connected, in other words that there exists a valid transformation between any two feasible solutions of the source problem. What is the diameter of the reconfiguration graph? Equivalently speaking, what is the maximum number of reconfiguration operation to apply to transform any solution into any other? In this thesis, we focus on reconfiguration problems on graphs. We first investigate the graph recoloring problem. In this problem, we consider a graph and proper colorings of this graph, and the reconfiguration operation consists in modifying the color of one vertex. The number of colors that can be used in a transformation is limited. We focus on the question of finding transformations of linear size in the order of the input graph. We consider in particular chordal graphs and graphs of tree width two, and improve the best known bounds on the number of colors needed to obtain such transformations.The second part of this thesis is devoted to the independent set reconfiguration problem. We see an independent set as a number of tokens that are placed on the vertices of the independent set. We consider two reconfiguration operations. First, the token jumping operation: a token can be moved anywhere on the graph at each step. The second one is the sliding operation: a token can only move to a neighbor of the vertex it lies on.We focus on the complexity of the reachability problem defined by these operations. We first prove that the problem is PSPACE-complete on H-free graphs for both operations, unless H belongs to a finite set of graphs mathcal{H} that we describe, and investigate the complexity of the problem on H-free graph for some H in mathcal{H}. We then study the impact of girth on the parameterized complexity of the problem for both operations, and give a precise limit between tractability and intractability in classes related to bipartite graph for the token sliding operation. We then introduce a new model of independent set reconfiguration which we call galactic token sliding as a tool for parameterized reductions and use it to show that the token sliding reachability problem is fixed-parameter tractable when parameterized by the size of the independent sets on graphs of bounded-degree.