Des normes aux métriques en géométrie non-archimédienne

From norms to metrics in non-Archimedean geometry

• Auteur / Autrice : Rémi Reboulet
• Direction : Catriona Maclean, Sébastien Boucksom
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/12/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Emmanuel Peyre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Eyssidieux, Charles Favre, Antoine Ducros
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : David Witt Nyström, José Ignacio Burgos Gil

Mots clés

Mots clés contrôlés

Pluripotentiel, Théorie du

Géodésiques (mathématiques)

Espaces de Berkovich

Mots clés libres

Théorie du pluripotentiel

Espaces de Berkovich

Géométrie non-Archimédienne

Pluripotential theory

Berkovich spaces

Non-Archimedean geometry

Résumé

Nous étudions plusieurs aspects de la théorie du pluripotentiel sur un corps non-archimédien, en elle-même et à travers ses liens avec la géométrie complexe. Les objets centraux en sont les métriques plurisousharmoniques (ou psh) sur un fibré en droites L au-dessus d'une variété X sur un corps non-archimédien, dont la théorie globale a récemment été développée par Boucksom-Eriksson-Favre-Jonsson et al. Le cas le plus étudié est celui où le corps K est doté de la valeur absolue triviale ; dans cette thèse, nous nous concentrerons particulièrement sur les cas où la valeur absolue n'est pas triviale.Nous étudions dans un premier temps l'image de l'opérateur de Fubini-Study asymptotique sur des corps non-archimédiens généraux, qui permet d'approcher des métriques plurisousharmoniques sur un fibré en droites ample à l'aide de normes agissant sur les sections de ses puissances. Ensuite, nous construisons des géodésiques plurisousharmoniques dans les espaces de métriques non-archimédiennes psh d'énergie finie sur un fibré ample, et étudions leurs propriétés de régularité, ce qui étend des constructions classiques du monde complexe au monde non-archimédien. Enfin, nous considérons une dégénérescence analytique de variétés complexes X sur le disque unité, que nous identifions avec une variété X_K sur le corps non-archimédien K des séries de Laurent à coefficients complexes. Etant donné un fibré en droites relativement ample L sur X, nous construisons l'espace métrique géodésique des métriques relativement maximales d'énergie finie sur L. Nous montrons que l'espace des métriques d'énergie finie non-archimédiennes sur L_K (ayant également identifié L avec une variété sur le corps K) se plonge isométriquement et géodésiquement dans le précédent, ce qui permet de déduire la convexité d'incarnations non-archimédiennes de diverses fonctionnelles en lien avec la K-stabilité.

We study and develop pluripotential theory over a non-Archimedean field, in itself, and through its interactions with complex geometry. Its main objects are plurisubharmonic (or psh) metrics on a line bundle L over a variety X over a non-Archimedan field. The global theory of such psh metrics has recently been developed by Boucksom-Eriksson-Favre-Jonsson et al. The most well known case is that of a field K endowed with the trivial absolute value; in this thesis, we will focus on fields endowed with nontrivial absolute values.We first look into the image of the asymptotic Fubini-Study operator over general non-Archiemdean fields, which allows us to approximate plurisubharmonic (psh) metrics on an ample line bundle L using norms acting on the sections of the tensor powers of L. Then, extending an important construction from complex geometry to the non-Archimedean world, we show that there exist plurisubharmonic geodesics in spaces of finite-energy psh metrics on an ample line bundle, and study their regularity properties with respect to the regularity of their endpoints. Finally, we consider an analytic degeneration of complex varieties, X, fibred over the unit disc, which we identify with a variety X_K over the non-Archimedean field of complex Laurent series. Given a relatively ample line bundle on X, we construct the geodesic metric space of relatively maximal finite-energy metrics on L. We show that the space of non-Archimedean finite-energy metrics on L_K (having once again identified L with a variety over the field K) embeds isometrically and geodesically into the former, allowing us to deduce convexity of some non-Archimedean versions of various functionals related to K-stability.