Approximation de champ moyen pour un gaz d'anyons
Auteur / Autrice : | Théotime Girardot |
Direction : | Nicolas Rougerie |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques appliquées |
Date : | Soutenance le 29/09/2021 |
Etablissement(s) : | Université Grenoble Alpes |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de physique et modélisation des milieux condensés (Grenoble ; 1990-....) |
Financement : Funding from the European Research Council (ERC) under the European Union’s Horizon 2020 | |
Jury : | Examinateurs / Examinatrices : Douglas Lundholm, Søren Fournais, Alain Joye, Michele Correggi, Jonas Lampart |
Rapporteurs / Rapporteuses : Zied Ammari, Jan Philip Solovej |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Ce manuscrit est dédié à l'étude des gaz d'anyons. Il s'agit de dérivations rigoureuses d'énergies fondamentales de ces systèmes dans la limite de champs moyen, i.e quand le nombre de particule tend vers l'infini. Au sein des systèmes bi-dimensionnels le choix de la statistique des particules n'est pas limité à la dichotomie boson/fermion. Le paramètre statistique peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 1 extrapolant entre bosons (paramètre statistique nul) et fermions (paramètre statistique égal à 1). Ces quasi-particules sont alors décrites comme d'authentiques fermions ou bosons interagissant via un potentiel magnétique longue portée généré par des charges magnétiques de rayon R que les particules transportent. En d'autres termes, nous ajoutons aux particules un tube de flux fictif de type Aharonov-Bohm. Nous avons donc affaire à un problème à N corps où toutes les particules interagissent entre elles. Nous considérons de plus que les anyons sont piégés dans un potentiel V et soumis à un champ magnétique extérieur. Nous étudions ici deux limites appelées quasi-bosonique et quasi-fermionique où le paramètre statistique tend respectivement vers celui des bosons puis des fermions. Dans le premier cas le paramètre statistique est vu comme une perturbation du cas bosonique. Nous le prenons égal à 1/N. Le rayon R tend aussi vers zéro quand N tend vers l'infini. Notre méthode permet d'obtenir la convergence des états fondamentaux de ces gaz ainsi que la convergence des états associés. Nous obtenons une énergie de Hartree. La validité de ce résultat dépend de la vitesse de convergence de R qui ne doit pas décroître trop vite. La discussion autour de la taille des anyons sera centrale dans le manuscrit. L'outil principal dans l'obtention du modèle effectif est la version du théorème de de Finetti de Brandão et Harrow combiné à une localisation dans l'espace de Fock.Dans le cas quasi-fermionique le paramètre statistique tend vers un. Nous travaillons donc sur une perturbation du cas fermionique. Cette fois-ci nous introduisons la constante de Planck que nous prenons proportionnelle à 1/N^(1/2) pour nous trouver dans une limite semi-classique. Nous obtenons à la limite une énergie Thomas-Fermi. La validité de ces résultats est aussi tributaire d'une contrainte sur la taille des charges R. Nous utilisons les états cohérents et les fonctions de Husimi combinés au théorème de Diaconis-Freedman pour obtenir l'énergie effective. Le point central de la preuve est l'obtention d'un principe de Pauli quantitatif semi-classique.Dans les chapitres qui vont suivre nous commencerons par expliciter la notion d'anyon, nous énoncerons les résultats principaux, puis consacrerons le reste à leur preuve. Nous terminerons en suggérant quelques idées d'amélioration et de continuation de notre propos.