Compactifications partielles du complément d'un arrangement de droites et groupes fondamentaux

Partial compactifications of the complement of an arrangement of lines and fundamental groups

• Auteur / Autrice : Rodolfo Aguilar Aguilar
• Direction : Philippe Eyssidieux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 04/05/2021
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Pierre Demailly
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexandru Dimca, Benoît Claudon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Enrique Artal-Bartolo, Mina Teicher

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes fondamentaux (mathématiques)

Théorème de Quillen-Suslin

Compactifications

Mots clés libres

Arrangements

Droites

Groupes fondamentaux

Fundamental groups

Arrangements

Lines

Résumé

Dans cette thèse, on étudie le groupe fondamental de certains compactifications partielles du complément d'un arrangement de droites dans le plan projectif complexe. D'abord, on modifie une méthode utilisée par Randell pour obtenir une présentation du groupe fondamental de telles compactifications partielles quand l'arrangement est définie par des formes linéaires réels. On utilise cette présentation pour donner une réponse négative à une question posée par P. Eyssidieux demandant si le premier groupe d'homologie d'une telle surface est fini si et seulement si son groupe fondamental l'est.Après, motivé par l'étude de certains compactifications partielles reliées à des fibrations isotriviales, on généralise un théorème de structure du groupe fondamental d'un quotient d'un produit de courbes dû à Bauer-Catanese-Grunewald-Pignatelli. Finalement, on généralise la présentation obtenue dans le cas d'un arrangement réel au cas d'un arrangement complexe et à un type plus général de compactifications partielles. Pour une telle surface, on compare cette présentation avec celle du groupe fondamental à l'infini et on montre qu'on peut obtenir la première en ajoutant certains relations à la deuxième. On obtient comme conséquence une présentation pour le groupe fondamental de certains plans d'homologie provenant d'un arrangement de droites.

We study the fundamental group of certain partial compactifications of the complement of an arrangement of lines in the complex projective plane.First, by modifying a method of Randell, we give a presentation for the fundamental group when the arrangement is defined by real linear forms. We use this to give a negative answer to a question posed by Eyssidieux to the effect that the first integral homology group of such surfaces is finite if and only if the fundamental group is finite.After that, in order to study certain partial compactifications related to isotrivial fibrations to curves, a generalization of a structure theorem for the fundamental group of quotients of products of curves of Bauer-Catanese-Gru-ne-wald-Pignatelli is given.Finally, we extend the presentation obtained in the case of a real arrangement to the case of a complex arrangement and to a more general type of partial compactifications. For one such surface, we compare this presentation with that of its fundamental group at infinity and we show that the first can be obtained from the latter by adding some relations. We obtain as a consequence a presentation for the fundamental group of certain homology planes constructed from arrangements of lines.