Modèles d’épidémies en dimension infinie et optimisation des stratégies de vaccination

Epidemics models in infinite-dimension and optimal vaccination strategies

• Auteur / Autrice : Dylan Dronnier
• Direction : Jean-François Delmas, Pierre-André Zitt
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 26/11/2021
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Stéphane Dhersin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Delmas, Pierre-André Zitt, Remco van der Hofstad, Jean Dolbeault, Marianne Akian, Elisabeta Vergu, Isabelle Chalendar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Remco van der Hofstad, Jean Dolbeault

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Vaccination

Épidémies

Équations différentielles

Mots clés libres

Modèle SIS

Nombre de reproduction

Stratégie de vaccination

Equation différentielle

Opérateur à noyau

Problème d'optimisation

SIS Model

Reproduction number

Vaccination strategies

Differential equation

Kernel operator

Optimization problem

Résumé

Cette thèse est motivée par la modélisation mathématique de l'hétérogénéité des contats dans les populations humaines et son impact sur la dynamique et le contrôle d'une maladie transmissible.La première partie de la thèse porte sur l'étude d'un modèle SIS (Susceptible/Infected/Susceptible) déterministe en dimension infinie qui prend en compte l’hétérogénéité des contacts dans une population de grande taille. Grâce aux propriétés monotones que vérifient les solutions de ces équations différentielles, nous prouvons un résultat qui, comme pour les modèles en dimension finie, donne le comportement en temps long de la proportion d'infectés. En effet, le nombre de reproduction de base R0, défini comme le rayon spectral d'un opérateur à noyau, détermine s'il existe un équilibre endémique stable (R0 > 1) ou si toutes les solutions convergent vers l’état d’équilibre sans individus infectés (R0 <= 1).Nous formalisons et étudions ensuite le problème de distribution optimale d’un vaccin qui immunise complètement les individus qui le reçoivent. Quand on suppose que les contacts sont homogènes et que R0 > 1, il suffit de vacciner une proportion 1-1/R0 de la population atteindre l'immunité de groupe et éradiquer la maladie selon le théorème du seuil. Dans les modèles hétérogènes, ce théorème reste vrai mais avec une meilleure répartition des doses, on peut espérer atteindre l'immunité de groupe à moindre coût. Ainsi, nous étudions le problème où l’on cherche à minimiser à la fois le coût de la vaccination et une fonction perte qui peut être soit lenombre de reproduction effectif, soit la proportion totale d’infectés dans l’état endémique. En prouvant la continuité de ces deux fonctions pertes par rapport à une certaine topologie bien choisie, nous obtenons l’existence de stratégies Pareto optimales. Nous montrons également que si le nombre de reproduction de base est strictement supérieur à 1, alors la stratégie qui consiste à vacciner selon le profil des susceptibles dansl’état endémique est critique au sens où elle conduit à un nombre de reproduction effectif égal à 1.Enfin, nous étudions les propriété du nombre de reproduction effectif et le problème de minimisation bi-objectif associé. Nous démontrons une généralisation de la conjecture de Hill-Longini sur la concavité et la convexité du nombre de reproduction effectif ainsi que d'autres résultats théoriques sur cette fonction perte. Ces derniers seront ensuite illustrés par de nombreux exemples. En particulier, les trois questions suivantes nous guideront notre analyse.- Est-il possible de toujours vacciner optimalement quand les doses de vaccins ne sont disponibles qu'au fur et à mesure ?- Quel est l’effet de l’assortativité (propension des individus à créer des liens avec des individus aux caractéristiques communes) sur le profils des vaccination optimale ?- Que se passe-t-il quand tous les individus de la population ont le même nombre de contacts ?

This thesis is motivated by the mathematical modelling of heterogeneity in human contacts and the consequences on the dynamic and the control of contagious diseases.In the first part of the thesis, we introduce and study an infinite-dimensional deterministic SIS (Susceptible/Infected/Susceptible) model which takes into account the heterogeneity of contacts within a large population. Thanks to the monotonic properties of the flow of these equations, we prove a result on the long-time behavior of the proportion of infected people. The basic reproduction number R0, defined as the spectralradius of a kernel operator, determines whether there exists a stable endemic equilibrium (R0 > 1) or if all the solutions tends to the disease-free equilibrium (R0 <= 1).As an application, we formalize and study the problem of optimal allocation strategies for a vaccine that completely immunize from the disease those who received it. When we suppose that the contacts in the population are homogeneous, the threshold theorem states that the incidence of the infection will decrease if the proportion of vaccinated persons in the population is at least equal to 1-1/R0. In inhomogeneous models, this theorem remains true but with a better allocation of vaccine doses, we can hope for reaching herd immunity at lower cost. Hence, we study the problem where one tries to minimize simultaneously the cost of the vaccination, and a loss that may be either the effective reproduction number, or the overall proportion of infected individuals in the endemic state. By proving the continuity of these two loss functions, we obtain the existence of Pareto optimal strategies. We also show that vaccinating according to the profile of the endemic state is a critical allocation, in the sense that, if the initial reproduction number is larger than 1, then this vaccination strategy yields an effective reproduction number equal to 1.The last part of the thesis is a detailed study of the effective reproduction number and the bi-objective minimization problem associated. We prove a generalization of the Hill-Longini conjecture on the concavity and convexity of the effective reproduction number along with other theoretical results on this loss function. We then illustrate with multiple examples those properties. In particular, we investigate the three following questions.- Is it possible to always vaccinate optimally when the vaccine doses are given one at a time?- What is the effect of assortativity (the tendency to have more contacts with similar individuals) on the shape of optimal vaccination strategies?- What happens when every individuals have the same number of neighbors?