Méthode d’homogénéisation d’éclatement multi-échelle appliquée aux modèles d’électrocardiologie bidomaine et tridomaine.

Multi-scale unfolding homogenization method applied to bidomain and tridomain electrocardiology models

• Auteur / Autrice : Fakhrielddine Bader
• Direction : Mazen Samir Saad, Raafat Talhouk, Mostafa Bendahmane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 15/11/2021
• Etablissement(s) : Ecole centrale de Nantes en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes)
• Jury : Président / Présidente : Yves Coudière
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mazen Samir Saad, Raafat Talhouk, Mostafa Bendahmane, Yves Coudière, Patrizia Donato, Claudia Timofte, Ayman Mourad
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Patrizia Donato, Claudia Timofte
• DOI : 10.70675/e90404ffzcd60z4203z90bbzf037328925a8

Mots clés

Mots clés contrôlés

Électrocardiographie

Système de conduction du coeur

Électrophysiologie

Analyse mathématique

Mots clés libres

Bidomaine

Tridomaine

Méthode d’homogénéisation asymptotique à trois échelles

Méthode d’éclatement périodique

Gap junctions

Électro-cardiologie

Bidomain

Tridomain

Three-scale asymptotic homogenization method

Eriodic unfolding method

Gap junctions

Electro-cardiology

Résumé

Cette thèse est principalement consacrée à la modélisation et à l’analyse multi-échelle de systèmes d’électrocardiologie bidomaine et tridomaine. L’électrophysiologie cardiaque décrit et modélise les phénomènes chimiques et électriques qui se produisent dans le tissu cardiaque. Au niveau microscopique, le tissu cardiaque est très complexe et il est donc très difficile de comprendre et de prévoir son comportement à l’échelle macroscopique (observable). Ainsi, à chaque système (bidomaine ou tridomaine) on associe un modèle microscopique (de type elliptique), couplé à un système d’EDO non-linéaire et un autre macroscopique (de type réaction-diffusion). En se basant sur la loi de la conduction électrique d’Ohm et la conservation de la charge électrique, on obtient le modèle microscopique qui donne une description détaillée de l’activité électrique dans les cellules responsables de la contraction cardiaque. Ensuite, en utilisant des techniques d’homogénéisation, on obtient le modèle macroscopique qui, à son tour, permet de décrire la propagation des ondes électriques dans le coeur entier. Cette thèse est composée en deux grandes parties. D’abord, on donne une justification mathématique formelle et rigoureuse du processus d’homogénéisation périodique qui conduit au modèle macroscopique bidomaine. La méthode formelle est un développement asymptotique à trois échelles appliqué au modèle bidomaine méso- et microscopique. En outre, la justification mathématique rigoureuse est basée sur des opérateurs d’éclatement qui non seulement dérivent l’équation homogénéisée mais aussi prouvent la convergence de la suite de solutions du problème bidomaine microscopique vers la solution du problème macroscopique. Pour traiter les modèles ioniques non linéaires, l’opérateur d’éclatement sur la surface et un argument de type Kolmogorov sont utilisés pour assurer la compacité. Ensuite, on travaille sur l’analyse mathématique d’un nouveau modèle décrivant l’activité électrique des cellules cardiaques en présence de jonctions communicantes est proposé. Il s’agit notamment du modèle ''tridomaine''. On montre l’existence et l’unicité de la solution faible du modèle microscopique tridomaine en utilisant la méthode constructive de Faedo-Galerkin. Finalement, l’obtention du modèle tridomaine macroscopique (homogénéisé) est justifiée d’une part par la méthode de développement asymptotique et d’autre part par l’analyse de convergence du modèle microscopique en s’appuyant sur la méthode d’éclatement périodique.

This thesis is mainly devoted to the modeling and multi-scale analysis of bidomain and tridomain electrocardiology systems. Cardiac electro-physiology describes and models the chemical and electrical phenomena that occur in cardiac tissue. At the microscopic level, cardiac tissue is very complex and it is therefore very difficult to understand and predict its behavior at the macroscopic (observable) scale. Thus, to each (bidomain or tridomain) system we associate a microscopic model (of elliptical type), coupled to a nonlinear ODE system and another macroscopic one (of reaction-diffusion type). Based on Ohm’s law of electrical conduction and conservation of electrical charge, we obtain the microscopic model that givesa detailed description of the electrical activity in the cells responsible for cardiac contraction. Then, using homogenization techniques, we obtain the macroscopic model which, in turn, allows us to describe the propagation of electrical waves in the entire heart. This thesis is composed of two main parts. First, we give a formal and rigorous mathematical justification of the periodic homogenization process that leads to the macroscopic bidomain model. The formal method is a kind of asymptotic development at three scales that we apply to our meso- and microscopic bidomain model. Moreover, the rigorous method is based on unfolding operators which not only derive the homogenized equation but also prove the convergence of the solution sequence of the microscopic bidomain problem to the solution of the macroscopic problem. Because of nonlinear terms, the boundary unfolding operator and a Kolmogorov type argument for the phenomenological ionic models are used. Then, we work on the mathematical analysis of a new model that describes the electrical activity of cardiac cells in the presence of junctions. This model is the ''tridomain'' model.We show the existence and uniqueness of the weak solution of the tridomain microscopic model using the Faedo-Galerkin constructive technique and a compactness argument in L2. Finally, while using the two previous homogenization methods, we develop the macroscopic tridomain model which corresponds to an approximation of our microscopic model.