Calcul tensoriel et Applications

Tensor Computation with Applications

• Auteur / Autrice : Alaa El ichi
• Direction : Khalid Jbilou, Rachid Sadaka
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 24/11/2021
• Etablissement(s) : Littoral en cotutelle avec Université Mohammed V (Rabat). Faculté des sciences
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques pures et appliquées (Calais, Pas de Calais) - Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville
• Partenaire(s) de recherche : Ecole doctorale : Centre d'études doctorales en sciences et technologies (Rabat)
• Jury : Président / Présidente : Souad El Bernoussi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Froilán Martínez Dopico, Brahim Benouahmane, Michela Redivo Zaglia
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Froilán Martínez Dopico, Brahim Benouahmane

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodes de sous-espaces de Krylov

Calcul tensoriel

Mots clés libres

Tenseurs

Produit d’Einstein

Produit à n mode

T-product

Produit cosine

Traitement des images et des vidéos

Équations de Sylvester

Reconnaissance faciale

Extrapolation

Tensors

Krylov subspace

Einstein product

N mode product

T-product

Cosine product

Image and vidéo processing

Sylvester equation

Facial recognition

Extrapolation

Résumé

Dans ces dernières années, plusieurs axes de recherches liées aux tenseurs (matrices multidimensionnelles) ont été exploités, optimisation non linéaire, algèbre multilinéaire, analyse non linéaire, statistiques, langage de programmation ... Vu que dans la modélisation de plusieurs phénomènes, la représentation tensorielle a prouvé efficacité face à celle matricielle. En effet, les données réelles traitées à partir des différents problèmes entraînant souvent des demandes écrasantes sur les ressources informatiques (stockage, coût de calcul ...) Convaincus par l’efficacité de l’approche tensorielle, nous proposons dans cette thèse, une étude qui cible la généralisation des méthodes numériques matricielles via le formalisme tensoriel. En particulier, nous nous sommes concentrés sur l’extension des méthodes des sous espaces de Krylov et leurs applications. Plus précisément, nous avons introduit les méthodes de sous espace de Krylov tensorielles, type global et par blocs liés aux différents produits tensoriels existant déjà. Nous avons même réussi à développer une nouvelle catégorie de ces méthodes nommée méthodes des sous espaces de Krylov tubales. De plus, nous avons proposé des applications de ces méthodes dans la résolution des systèmes tensoriels linéaires et non linéaires, la restauration des images et vidéos, ainsi que la résolution des équations tensorielles de Sylvester. Nous traitons aussi les méthodes liées aux machines Learning et la reconnaissance faciale. En d’autres termes, nous proposons une généralisation des méthodes numériques d’identification et reconnaissance faciale, à savoir l’analyse linéaire discriminante et l’analyse multilinéaire discriminantes, via plusieurs produits tensoriels. Nous développons aussi dans cette thèse un autre axe de l’analyse numérique, il s’agit des méthodes d’accélération des suites ''L’extrapolation''. Nous proposons un ensemble de méthodes numériques basées sur le formalisme tensoriel qui généralisent les méthodes d’extrapolation vectorielles et matricielles.

In recent years, several research areas related to tensors (multidimensional matrices) have been exploited, nonlinear optimization, multilinear algebra, nonlinear analysis, statistics, programming language... In the modeling of several phenomena, the tensor representation proves efficiency in front of the matrix one. Indeed, the real data processing from different problems often leading to overwhelming demands on the computer resources (storage, calculation cost...). Convinced of the efficiency of the tonsorial approach, we propose in this thesis, a study that targets the generalization of numerical matrix methods via tonsorial formalism. In particular, we have focused on the extension of the Krylov subspace methods and their applications. More precisely, we have introduced tonsorial global and block Krylov subspace methods related to the various tensor products already existing. We have even succeeded in developing a new class of these methods named tubal Krylov subspace methods. Moreover, we propose applications of these methods in the resolution of linear and nonlinear tensor systems, image and video restoration, as well as the resolution of Sylvester tensor equations. We also deal with methods related to machine learning and facial recognition. In other words, we propose a generalization of the numerical methods of identification and facial recognition: the linear discriminant analysis and the multilinear discriminant analysis via several tensor products. We also develop in this thesis another axis of numerical analysis, '' Extrapolation methods''. We propose numerical methods based on tensor formalism which generalizes the vector and matrix extrapolation methods.