Étude des propriétés thermodynamiques hors-équilibre des systèmes en interactions répétées

par Jean-François Bougron

Thèse de doctorat en Mathématiques - EM2PSI

Sous la direction de Laurent Bruneau.

Le président du jury était Flora Koukiou.

Le jury était composé de Laurent Bruneau, Flora Koukiou, Clément Pellegrini, Dimitri Petritis, Alain Joye, Annalisa Panati.

Les rapporteurs étaient Clément Pellegrini, Dimitri Petritis.


  • Résumé

    On étudie les propriétés des flux d'énergie et d'entropie de l'environnement d'un Système en Interactions Répétées lorsque les sondes sont initialement à l'équilibre thermique, dans le cas particulier où les températures et autres paramètres associés aux sondes (temps d'interaction avec le petit système, hamiltonien libre et couplage) peuvent prendre un nombre fini m de valeurs. On se retrouve alors dans une situation analogue, mais pas équivalente, à un système quantique ouvert couplé à m réservoirs thermiques.Cette analogie soulève la question suivante : peut-on montrer une Théorie de la Réponse Linéaire des courants d'énergie, une Relation de Fluctuation et d'autres propriétés thermodynamiques hors-équilibre attendues sur de tels systèmes ? Dans une situation où les paramètres associés aux sondes varient de manière cyclique, aléatoire i.i.d. ou plus généralement markovienne, on montre que c'est possible en adaptant les méthodes employées par Lebowitz et al. Les résultats prennent alors une forme particulière due à la dynamique en temps discret, et à un manque d'invariance par renversement du temps.En particulier, on se sert de la structure de semigroupe dynamique quantique émergeant de nos modèles et de la notion de semigroupe déformé utilisée notamment dans les travaux de Jaksic, Pillet et al., pour montrer les bonnes propriétés de la fonction génératrice des moments/cumulants des flux d'énergie/entropie, et appliquer les théorèmes de Gartner-Ellis et de Bryc pour montrer un Principe de Grandes Déviations, une Loi des Grands Nombres et un Théorème Central-Limite.Le cas général markovien nécessite un formalisme un peu plus poussé pour faire émerger une structure de semigroupe, à savoir le formalisme de Feynman-Kac employé notamment par Pillet, qui étend l'espace de Hilbert du système quantique étudié à son produit tensoriel par l'espace des états de la chaîne de Markov qui régit les variations des paramètres liés aux sondes. Un résultat de convergence presque sûre sur les produits de matrices aléatoires, qui généralise celui de Bruneau et al. du cas i.i.d. au cas markovien, est démontré afin de compléter l'analyse du modèle.

  • Titre traduit

    Out of equilibrium thermodynamical properties study for repeated interaction systems


  • Résumé

    We study the energy and entropy fluxes of the environment of a Repeated Interaction System when the probes are initially at thermal equilibrium, in the particular case where the temperatures and other features of the probes (interaction time with the small system, free hamiltonian and coupling) belong to a finite set of cardinal m. Then the situation is analogous, but not identical, to the one of an open quantum system coupled to m thermal reservoirs.This analogy leads to the following question: is it possible to prove a Linear Response Theory of energy currents, a Fluctuation Relation and other expected non-equilibrium properties on such systems? If the features of the probes are changing in a cyclic way with time, or i.i.d. random, or more generally markovian random, we prove that it is indeed possible by adapting methods used by Lebowitz et al. Then the results have a particular form due to the discrete time dynamics and to a lack of time-reversal invariance.In particular, we use the quantum dynamical semigroup structure of our models and the notion of deformed semigroup applied for instance by Jaksic, Pillet et al., in order to show the good properties of the moment/cumulant generating function of energy/entropy fluxes, and to make use of the Gartner-Ellis and Bryc theorems to prove a Large Deviation Principle, a Law of Large Numbers and a Central Limit theorem.The general markovian case recquires a more sophisticated formalism to obtain a semigroup structure, namely the Feynman-Kac formalism applied for instance by Pillet, which extends the Hilbert space of the quantum system to its tensor product by the space of states of the Markov chain. An almost sure convergence result on random matrix products, generalizing the one of Bruneau et al. from the i.i.d. to the markovian case, is proved in order to complete the analysis of the model.


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