Contributions à l'existence, l'unicité, et la contraction des solutions de certaines équations aux dérivées partielles évolutives
Auteur / Autrice : | Maryam Al Zohbi |
Direction : | Mustapha Jazar, Ahmad El Hajj |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques Appliquées : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne (Unité de recherche EA-2222) |
Date : | Soutenance le 10/12/2021 |
Etablissement(s) : | Compiègne en cotutelle avec Université Libanaise |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale 71, Sciences pour l'ingénieur (Compiègne) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne / LMAC |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Dans cette thèse, nous nous sommes principalement intéressés à l’étude théorique et numérique de quelques équations qui décrivent la dynamique des densités des dislocations. Les dislocations sont des défauts microscopiques qui se déplacent dans les matériaux sous l’effet des contraintes extérieures. Dans un premier travail, nous démontrons un résultat d’existence globale en temps des solutions discontinues pour un système hyperbolique diagonal qui n’est pas nécessairement strictement hyperbolique, dans un espace unidimensionnel. Ainsi dans un deuxième travail, nous élargissons notre portée en démontrant un résultat similaire pour un système d’équations de type eikonal non-linéaire qui est en fait une généralisation du système hyperbolique déjà étudié. En effet, nous prouvons aussi l’existence et l’unicité d’une solution continue pour le système eikonal. Ensuite, nous nous sommes intéressés à l’analyse numérique de ce système en proposant un schéma aux différences finies, par lequel nous montrons la convergence vers le problème continu et nous consolidons nos résultats avec quelques simulations numériques. Dans une autre direction, nous nous sommes intéressés à la théorie de contraction différentielle pour les équations d’évolutions. Après avoir introduit une nouvelle distance, nous construisons une nouvelle famille des solutions contractantes positives pour l’équation d’évolution p-Laplace.