Contributions à l'existence, l'unicité, et la contraction des solutions de certaines équations aux dérivées partielles évolutives

Contributions to the existence, uniqueness, and contraction of the solutions to some evolutionary partial differential equations

• Auteur / Autrice : Maryam Al Zohbi
• Direction : Mustapha Jazar, Ahmad El Hajj
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne (Unité de recherche EA-2222)
• Date : Soutenance le 10/12/2021
• Etablissement(s) : Compiègne en cotutelle avec Université Libanaise
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale 71, Sciences pour l'ingénieur (Compiègne)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Appliquées de Compiègne / LMAC

Mots clés

Mots clés contrôlés

Simulation par ordinateur

Analyse numérique

Fonctions harmoniques

Équations aux dérivées partielles

Systèmes hyperboliques

Hamilton-Jacobi, Équations de

Théorèmes d'existence

Théorèmes d'unicité

Solutions de viscosité

Équation iconale

Contraintes (mécanique)

Dynamique

Dislocations dans les cristaux

Densité

Dislocations dans les métaux

Mots clés libres

Système hyperbolique diagonal

Contraction différentielle

Équation d’évolution de Laplace.

Diagonal hyperbolic systems

Dislocation dynamics

Eikonal systems

Viscosity solutions

Existence results

BV solutions

Differential contraction

P-Laplacian evolutionary equation

Partial differential equations

Hamilton-Jacobi equations

Numerical analysis

Computer simulation

Résumé

Dans cette thèse, nous nous sommes principalement intéressés à l’étude théorique et numérique de quelques équations qui décrivent la dynamique des densités des dislocations. Les dislocations sont des défauts microscopiques qui se déplacent dans les matériaux sous l’effet des contraintes extérieures. Dans un premier travail, nous démontrons un résultat d’existence globale en temps des solutions discontinues pour un système hyperbolique diagonal qui n’est pas nécessairement strictement hyperbolique, dans un espace unidimensionnel. Ainsi dans un deuxième travail, nous élargissons notre portée en démontrant un résultat similaire pour un système d’équations de type eikonal non-linéaire qui est en fait une généralisation du système hyperbolique déjà étudié. En effet, nous prouvons aussi l’existence et l’unicité d’une solution continue pour le système eikonal. Ensuite, nous nous sommes intéressés à l’analyse numérique de ce système en proposant un schéma aux différences finies, par lequel nous montrons la convergence vers le problème continu et nous consolidons nos résultats avec quelques simulations numériques. Dans une autre direction, nous nous sommes intéressés à la théorie de contraction différentielle pour les équations d’évolutions. Après avoir introduit une nouvelle distance, nous construisons une nouvelle famille des solutions contractantes positives pour l’équation d’évolution p-Laplace.

In this thesis, we are mainly interested in the theoretical and numerical study of certain equations that describe the dynamics of dislocation densities. Dislocations are microscopic defects in materials, which move under the effect of an external stress. As a first work, we prove a global in time existence result of a discontinuous solution to a diagonal hyperbolic system, which is not necessarily strictly hyperbolic, in one space dimension. Then in another work, we broaden our scope by proving a similar result to a non-linear eikonal system, which is in fact a generalization of the hyperbolic system studied first. We also prove the existence and uniqueness of a continuous solution to the eikonal system. After that, we study this system numerically in a third work through proposing a finite difference scheme approximating it, of which we prove the convergence to the continuous problem, strengthening our outcomes with some numerical simulations. On a different direction, we were enthused by the theory of differential contraction to evolutionary equations. By introducing a new distance, we create a new family of contracting positive solutions to the evolutionary p-Laplacian equation.