Schéma en groupes fondamental de quelques variétés connexes par courbes et associées

Fundamental group-scheme of some curve-connected varieties and associated ones

• Auteur / Autrice : Rodrigo Codorniu
• Direction : Christian Pauly, Marco Antei
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 15/06/2021
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice)
• Jury : Président / Présidente : Carlos Simpson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christian Pauly, Marco Antei, Carlos Simpson, João Pedro Dos Santos, Fabio Tonini, Michel Emsalem, Niels Borne, Sorin Dumitrescu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : João Pedro Dos Santos, Fabio Tonini

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Courbes algébriques

Schémas en groupes

Géométrie algébrique

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Schéma en groupes fondamental

Catégories tannakiennes

Courbe algébrique

Variétés connexes par courbes

Algebraic geometry

Fundamental group-scheme

Tannakian categories

Algebraic curve

Curve-connected varieties

Résumé

Dans ce travail de thèse on étudie le schéma en groupes fondamental des variétés connexes par courbes ou qui sont associées à ces variétés. Les variétés connexes par courbes sont la généralisation des variétés rationnellement connexes, dont la définition a été conçu par J. Kollár. Ces notions sont les plus proches en géométrie algébrique à la notion de connexité par arcs en topologie, car sur un corps algébriquement clos (non dénombrable), par deux points très généraux d'une variété connexe par courbes (par chaînes resp.) il existe une courbe (chaîne de courbes resp.) avec un morphisme vers la variété dont l'image contient les deux points-ci considérés. En dépendant du type de courbes qu'on considère, on a les notions de g-connexité (par chaînes resp.) où on considère exclusivement des courbes (chaînes de courbes resp.) où chaque composante irréductible est une courbe lisse et projective de genre g, et la notion de la C-connexité pour une courbe fixe C où par deux points très généraux on peut faire passer l'image d'un morphisme depuis la courbe C.En utilisant des résultats classiques et récents de la théorie des schémas en groupes fondamentaux, qui classifient des torseurs sous l'action d'un schéma en groupes affine, notamment le schéma en groupes fondamental de Nori et le S-schéma en groupes fondamental, on essaie à décrire le schéma en groupes fondamental de Nori des certains types des variétés connexes par courbes, dont le cas rationnellement connexe est déjà connu, et ceux des certaines variétés associées.Pour obtenir ces résultats, on utilise tous les aspects qui interviennent dans la théorie du schéma en groupes fondamental : les schémas en groupes affines, les catégories tannakiennes des fibrés vectoriels sur des variétés propres et la théorie des torseurs affines. En plus, on construit des nouveaux schémas en groupes fondamentaux associés aux catégories tannakiennes des fibrés pour des variétés où tout pair de points peut être connecté par des chaînes de courbes appartenant à des familles arbitraires de courbes, ce qui généralise une construction récente de I. Biswas, P.H. Hai et J.P. Dos Santos et qui pourrait fournir un nouveau cadre pour l'étude des schémas en groupes fondamentaux des variétés connexes par courbes. Plus spécifiquement, on propose deux approches différentes pour décrire ces schémas en groupes fondamentaux, appliquer le nouveau cadre des schémas en groupes fondamentaux décrit dans le paragraphe précédent aux variétés g-connexes, et utiliser la fibration rationnellement connexe maximale et décrire le comportement du schéma en groupes fondamental sur cette fibration. Inspiré par la deuxième approche, on décrit le schéma en groupes fondamental des fibrations sur des variétés abéliennes avec fibres rationnellement connexes, inspiré par la description des variétés elliptiquement connexes en caractéristique zéro par F. Gounelas. Ces variétés ne sont pas nécessairement elliptiquement connexes en caractéristique positive, mais la description de ses schémas en groupes fondamentaux est possible avec la suite exacte d’homotopie.

In this thesis work we study the fundamental group-scheme of curve-connected varieties or associated to them. Curve-connected varieties are the generalization of rationally connected varieties, whose definition was conceived by J. Kollár. These notions are the closest ones in algebraic geometry, to the notion of arc connectedness in topology, because over an algebraically closed field (uncountable), over any pair of two very general points in a curve-connected variety (resp. chain-connected), there exists a curve (resp. chain of curves) with a morphism to the variety whose image contains the two points mentioned before. Depending on the type of curves we consider, we have the notions of g-connectedness (resp. chain g-connectedness) where we consider exclusively curves (resp. chains of curves) with irreducible components are smooth and projective curves of genus g, and the notion of C-connectedness for a fixed curve C where over any two very general points, we can contain them in the image of a morphism from C to the variety.Using classical and recent results from the theory of fundamental group-schemes, which classifies torsors under the action of an affine group-scheme, notably Nori fundamental group-scheme and the S-fundamental group-scheme, we try to describe the Nori fundamental group-scheme of certain types of curve-connected varieties, for which the rationally connected case is known, and some associated varieties.To obtain these results, we use all the aspects that play a role in the theory of the fundamental group-scheme: affine group-schemes, tannakian categories of vector bundles over proper varieties, and the theory of affine torsors. Moreover, we build new fundamental group-schemes associated to tannakian categories of vector bundles over varieties where we can join any pair of points by a chain of curves belonging to arbitrary families of curves, generalizing a recent construction of I.Biswas, P.H. Hai and J.P. Dos Santos which could provide a new framework for the study of fundamental group-schemes of curve-connected varieties.More specifically, we propose two different approaches to understand these fundamental group-schemes, apply the new framework for fundamental group-schemes described in the paragraph above for g-connected varieties and to utilize the maximal rationally connected fibration and describe the behaviour of the fundamental group over it. Inspired by the second approach, we describe the fundamental group-scheme of fibrations over elliptic curves with rationally connected fibers, inspired by the description of elliptically connected varieties in characteristic zero made by F. Gounelas. These varieties are not necessarily elliptically connected in positive characteristic, but the description of their fundamental group-schemes is possible with the homotopy exact sequence.