Problèmes inverses en mécanique des fluides résolus par des stratégies de jeux

Inverse problems in fluid mechanics solved by game strategies

• Auteur / Autrice : Marwa Ouni
• Direction : Abderrahmane Habbal, Moez Kallel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/03/2021
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur en cotutelle avec Université de Tunis El Manar
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire J.-A. Dieudonné (Nice) - Laboratoire de Modélisation Mathématique et Numérique dans les Sciences de l'Ingénieur (Tunis, Tunisie)
• Jury : Président / Présidente : Mourad Bellasoued
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Abderrahmane Habbal, Moez Kallel, Mourad Bellasoued, Saloua Aouadi, Faker Ben Belgacem, Olivier Pantz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Saloua Aouadi, Faker Ben Belgacem

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des jeux

Mécanique des fluides

Problèmes inverses

Mots clés libres

Complétion des données

Système de Stokes

Méthode level-set

Détection des sources

Calcul des variations

Sensibilité topologique

Jeux de Nash

Problème inverse géométrique

Écoulements quasi-Newtoniens

Data completion

Cauchy-Stokes problem

Level-set method

Point-force detection

Calculus of variations

Topological sensitivity

Nash game

Shape identification

Quasi-Newtonian Stokes flows

Résumé

Dans cette thèse, on s’intéresse à étudier la capacité de l’approche de la théorie des jeux à traiter certains problèmes inverses ‘mal posé’, gouvernés par les équations de Stokes ou quasi-Stokes. La première partie concerne la détection d’un ou plusieurs objets (Chapitre 2), et l’identification de sources ponctuelles dans un écoulement (Chapitre 3), en utilisant des données du type Cauchy qui seront ainsi fournies seulement sur une partie frontière de l’écoulement. Ce type de problème est mal posé au sens d’Hadamard du fait de l’absence de solution si les données ne sont pas compatibles mais surtout du fait de son extrême sensibilité aux données bruitées, dans le sens où une légère perturbation des données entraine une grande perturbation de la solution. Cette difficulté de stabilité fournit aux chercheurs un défi intéressant pour la mise au point de méthodes numériques permettant d’approcher de la solution du problème inverse original. L’approche développée ici est différente de celles existantes, elle a traité simultanément la question de la reconstruction des données manquantes avec celle de l’identification des inclusions ou de sources ponctuelles dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. En considérant une méthode de type minimisation de critères, la solution est réinterprétée en termes d’équilibre de Nash entre les deux problèmes complétion/identification. Des nouveaux algorithmes originaux dédiés au calcul d’équilibre de Nash sont présenté et implémenté avec FreeFem ++. Une extension pour le problème d’identification de petits objets de l’approche proposée de jeu de Nash a été réalisé (Chapitre 4). La deuxième partie est consacrée à la résolution des problèmes inverses non linéaires dans le cadre des écoulements de fluide quasi-newtonien (Chapitre 5). La viscosité est supposée une fonction non linéaire, varie en fonction du tenseur des déformations. Un problème inverse non linéaire du type Cauchy est reformulé comme un problème du contrôle optimal, puis comme un jeu de Nash à deux joueurs. Deux algorithmes ont été utilisés et comparés afin de résoudre les problèmes aux limites non linéaires : un algorithme classique de point fixe et un nouveau schéma proposé ‘one-shots’. Enfin, on applique la théorie des jeux pour la résolution du problème de couplage de complétion des données etidentification des inclusions pour le modèle de quasi-Stokes.

This thesis aims to study the ability of theoretic game approaches to deal with ill-posed problems. The first part of the thesis is dedicated to the Stokes system’s linear problem, with the goal of detecting unknown geometric inclusions or pointwise sources in a stationary viscous fluid, using a single compatible pair of Dirichlet and Neumann data, available only on a partially accessible part of the boundary. Inverse geometric-or-source identification for the Cauchy-Stokes problem is severely ill-posed (in the sense of Hadamard) for both the inclusions or sources and the missing data reconstructions, and designing stable and efficient algorithms is challenging. To solve the joint completion/detection problem, we reformulate it as a three players Nash game. The two first players aim at recovering the missing data (Dirichlet and Neumann conditions prescribed over the inaccessible boundary), while the third player seeks to identify the shape and locations of the inclusions (in Chapter 2) or determine the source term (in Chapter 3). We then introduce new algorithms dedicated to the Nash equilibria, which is expected to approximate the original coupled problems’ solutions. We present different numerical experiments to illustrate the efficiency and robustness of our 3- player Nash game strategy. The extension of this work to another situation, such as identifying small objects, has been carried out (in Chapter 4). The second purpose of this thesis is to extend those results to the case of quasi-Newtonian fluid flow whose viscosity is assumed to be a nonlinear function that varies upon the imposed rate of deformation. The considered problem then is a nonlinear Cauchy type because of the non-linearity of the viscosity function. Two different iterative procedures, control-type and Nash game algorithms, are considered to solve it. From a computational point of view, the non-linearity needs some particular algorithms. We propose a novel one-shot algorithm to solve the nonlinear state equations during a recovery process, representing a different idea to treat the nonlinear Cauchy problems. Some numerical experiments are provided to demonstrate our algorithm’s efficiency in the noise-free and noisy data cases. A comparison between the one-shot scheme and the fixed-point method was performed. Finally, we introduce an algorithm to jointly recover the missing boundary data and the location and shape of the inclusions for nonlinear Stokes models based on the Game-Theoretic approach.