Biconformal deformation and solutions to the Einstein equation

Déformation biconforme et solutions aux équations d’Einstein

• Auteur / Autrice : Jade Ventura
• Direction : Paul Baird
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 27/10/2021
• Etablissement(s) : Brest
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique (Brest ; Vannes ; 2004-....)
• Jury : Président / Présidente : Juan A. Valiente Kroon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Paul Baird, Juan A. Valiente Kroon, Romain Gicquaud, Jean-Philippe Nicolas, Marina Ville
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Juan A. Valiente Kroon, Romain Gicquaud

Mots clés

Mots clés contrôlés

Applications quasi conformes

Riemann, Variétés de

Géométrie différentielle

Relativité restreinte (physique)

Mots clés libres

Equation d’Einstein

Variété d’Einstein

Déformation biconforme

Application semiconforme

Feuilletage conforme

Einstein equation

Einstein manifold

Biconformal deformation

Semi-conformal map

Conformal foliation

Résumé

Le domaine de cette thèse concerne la géométrie lorentzienne et riemannienne en dimension 4 avec objectif la résolution des équations d’Einstein par une méthode novatrice de déformation biconforme. Cette méthode consiste à prendre un espace-temps de base, par exemple l’espace de Minkowski ou un modèle cosmologique Friedmann-Robertson-Walker (FRW), muni d’un feuilletage conforme par des surfaces lorentziennes, et de déformer la métrique par des facteurs σ et ρ normale de tangente resp. au feuilletage. Si σ=ρ il s’agit d’une déformation conforme. Il s’avère que les déformations biconformes sont optimales pour contrôler la courbure de Ricci ; conforme étant mieux adapte à la courbure scalaire (problème de Yamabe). La méthode s’adapte au cas riemannien, cette fois-ci en prenant une variété riemannienne à 4 dimensions munie d’un feuilletage conforme par des surfaces quelconques. Parmi les résultats significatifs, on trouve une caractérisation des solutions aux équations d’Einstein par déformation de la métrique de Minkowski avec champ électromagnétique, avec champ d’une fluide parfaite, ou sans champ. Des exemples concrets sont construits. La notion de condition de Hubble est introduite afin de donner un critère physique pour les déformations biconformes réalistes des modèles FRW. Dans le cadre riemannien, on construit une famille de métriques complètes d’Einstein avec “bouts” R2.

The domain of this thesis concerns Lorentzian and Riemannian geometry in dimension 4 with the objective of resolving Einstein's equations by an innovative method of biconformal deformation. This method consists of taking a base space-time, for example the Minkowski space or a Friedmann-Robertson-Walker (FRW) cosmological model, endowed with a conformal foliation by Lorentzian surfaces, and to deform the metric by factors σ and ρ normal and tangent resp. to the foliation. If σ ≡ ρ, the deformation is conformal. It turns out thatbiconformal deformations are optimal for controlling the Ricci curvature; conformal being better adapted to scalar curvature (Yamabe problem).The method adapts to the Riemannian case, this time by taking a 4-dimensional Riemannian manifold endowed with conformal foliation by any surfaces.Among the significant results, we find a characterization of the solutions to Einstein's equations by deformation of the Minkowski metric with an electromagnetic field, with a perfect fluid field, or without a field. Concrete examples are constructed. The notion of Hubble condition is introduced in order to give a physical criterion for realistic biconformal deformations of FRW models. In the Riemannian framework, we construct a family of complete Einstein metrics with “ends” R2.