Etudes de détection de rupture : procédure en ligne pour des modèles discrets de Poisson et test hors ligne pour des mélanges paramétriques. Application à des problèmes issus de l’assurance

Studies of change detection : on-line scheme for discrete Poisson models and off-line test for parametric mixtures. Application to insurance problems

• Auteur / Autrice : Dominique Abgrall
• Direction : Catherine Rainer, Brice Franke
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 16/06/2021
• Etablissement(s) : Brest
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Bretagne Atlantique (Brest ; Vannes ; 2004-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Lopez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Catherine Rainer, Brice Franke, Olivier Lopez, Patrice Bertail, Marine Corlosquet-Habart, Pierre Ailliot, Franck Vermet, Paul Doukhan
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Olivier Lopez, Patrice Bertail

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rupture (statistique)

Mots clés libres

Détection de rupture

Mélange paramétrique

Théorèmes limites faibles de séquences dépendantes

Test de ratio de vraisemblance pondérée

Estimateur séquentiel convergent

Procédure de Shiryaev-Roberts

Mortalité nationale française

Mortalité nationale française application à des données d’assurance

Change-point detection

Parametric mixture

Weak limit theorems for dependent sequences

Weighted likelihood quotient test

Consistent sequential estimator

Shiryaev-Roberts scheme

French mortality

Applications to insurance data

Résumé

Cette thèse traite de deux études distinctes de techniques de détection de rupture. Le premier problème concerne l’estimation séquentielle du paramètre post-changement dans le cas d’une séquence discrète de variables aléatoires de Poisson. Nous introduisons un estimateur alternatif qui est basé sur la statistique de la procédure de Shiryaev-Roberts. Nous montrons qu’il s’agit d’un estimateur convergent. Les applications numériques indiquent que, juste après le changement, il a un biais et une variance significativement plus faibles que ceux de l’estimateur du maximum de vraisemblance, avec des propriétés asymptotiques similaires. Des applications à des données réelles d’assurance sont présentées, pour des cas où le changement est évident ou non. Dans la seconde étude, nous introduisons deux tests d’hypothèse qui permettent de détecter une rupture dans la première composante d’un mélange fini de lois paramétriques, pour un échantillon où au plus un changement se produit. Chaque test repose sur un ratio de vraisemblance pondérée qui est calculable à l’aide d’algorithmes d’estimation standards. Avec une technique issue de Davis et al. (1995), nous obtenons sous l’hypothèse nulle les lois limites des statistiques de test comme des formes quadratiques d’un mouvement Brownien, à l’aide d’un théorème limite fonctionnel dédié. Nous montrons que les conditions de validité du résultat limite sont valides pour le cas Gaussien dans le cadre donné par Hathaway (1985). Des applications numériques sur des données simulées illustrent les avantages des tests alternatifs comparés à un test standard de référence. Une application illustrative sur des données réelles d’assurance non-vie est donnée pour les tests alternatifs.

This thesis concerns two distinct studies of change-point detection techniques.The first problem deals with the sequential estimation of the post-change distribution when observing an on-line sequence of Poisson random variables. We introduce an alternative estimator based on the detection statistic of the Shiryaev-Roberts procedure. We show that it is a consistent estimator for the true post-change parameter.Numerical simulations indicate that, compared to the usual Maximum Likelihood Estimator, it has significantly reduced bias and variance just after the change, with identical asymptotic properties.Applications on real data from the insurance industry are provided, in a context where the change is obvious or not.In the second study, we introduce two alternative hypothesis tests that aim to detect a change-point in the first component of a finite parametric mixture, for a closed sample where at most one change occurs. They are based on weighted likelihood ratios that can be computed with standard inference algorithms. With a technique from Davis et al. (1995), we derive the limit distribution of their statistics under the null hypothesis in the form of quadratic forms of multidimensional Brownian motions, with the help of a dedicated functional limit theorem. We show that validity conditions of the main result hold for univariate finite Gaussian mixtures within the framework of Hathaway (1985). Numerical applications on simulated data illustrate the advantage of the alternative tests compared to a standard benchmark test. An application to Property and Casualty insurance real data is provided for the alternative tests.