Conditions nécessaires et suffisantes en contrôle optimal et applications - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2021

Necessary and sufficient conditions in optimal control and applications

Conditions nécessaires et suffisantes en contrôle optimal et applications

Résumé

The part 1 of this thesis focuses on a non autonomous Bolza problem in optimal control for which the Lagrangian L and the dynamics F are allowed to be discontinuous with respect to time on a set of full measure (with left and right limits everywhere). Several characterizations (contingent, proximal, viscosity) of the value function of the problem as the unique solution to the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation are established in the class of lower semicontinuous functions. The state-constrained case is also considered. Some appropriate compatibility conditions between the state of constraints and the dynamics are introduced. They allow to establish aW1,1 neighbouring feasible trajectories result which is then exploited to prove several characterizations (contingent, proximal, viscosity) of the value function V as the unique generalized solution to the Hamilton-Jacobi equation. Part 2 of this thesis presents results concerning a non autonomous high order Bolza problem in which the Lagrangian is merely Borel measurable, and is possibly extended valued. Necessary conditions for optimality in the Euler-Lagrange form and in the Erdmann –Du Bois-Reymond form are provided, without imposing on the Lagrangian to be convex with respect to the last variable, nor to have any kind of specific growth behavior. By adding an extra growth assumption that is more general than the usual superlinearity with respect to the last variable, the necessary conditions are exploited to establish that the last derivative of a given minimizer is essentially bounded.
La partie 1 de cette thèse traite d’un problème de Bolza non-autonome en contrôle optimal pour lequel la dynamique et le lagrangien sont continus en temps seulement presque partout. Plusieurs caractérisations (proximale, contingente et viscosité) de la fonction valeur du problème en tant qu’unique solution généralisée de l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman correspondante sont démontrées dans la classe des fonctions semi-continues inférieurement. Le cas d’un problème avec contrainte d’état est aussi considéré. Des conditions de compatibilité ad hoc entre l’ensemble des contraintes et la dynamique sont introduites, ce qui permet d’approximer les trajectoires violant la contrainte d’état par des trajectoires faisables et par suite d’établir des caractérisations (proximale, contingente et viscosité) de la fonction valeur en tant qu’unique solution de l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. La partie 2 de cette thèse traite d’un problème de Bolza non-autonome d’ordre N dans lequel le lagrangien est seulement Borel mesurable, et peut prendre pour valeur +1. On établit d’abord les conditions nécessaires d’optimalité sous la forme d’une équation du type Euler-Lagrange et d’une équation du type Erdmann – Du Bois-Reymond, sans imposer au lagrangien la convexité par rapport à sa dernière variable, ni aucune condition de croissance particulière. En imposant en plus au lagrangien une condition de croissance plus générale que la croissance super-linéaire utilisée habituellement, les conditions nécessaires sont mises à profit afin d’établir que la dernière dérivée d’un minimiseur de ce problème est essentiellement bornée.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03599535 , version 1 (07-03-2022)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03599535 , version 1

Citer

Julien Bernis. Conditions nécessaires et suffisantes en contrôle optimal et applications. Optimisation et contrôle [math.OC]. Université de Bretagne occidentale - Brest, 2021. Français. ⟨NNT : 2021BRES0011⟩. ⟨tel-03599535⟩
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