Stabilisation des systèmes décrivant le mouvement des vagues et leurs interactions avec un objet flottant

Stabilization of the systems describing water waves and their interaction with a floating object

• Auteur / Autrice : Pei Su
• Direction : Marius Tucsnak, David Lannes
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 09/12/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse
• Jury : Président / Présidente : Matthieu Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marius Tucsnak, David Lannes, Bingyu Zhang, Lassi Paunonen, Birgit Jacob
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bingyu Zhang, Lassi Paunonen

Mots clés

Mots clés contrôlés

Vagues

Interaction fluide-structure

Modèles mathématiques

Mécanique des fluides

Mots clés libres

Système dimensionnel infini

Équation des vagues linéariser

Stabilisation forte

Équations d'eau peu profonde

Interactions fluide-Structure

Infinite dimensional system

Linearized water waves equation

Strong stabilization

Shallow water equations

Fluid-Structure interactions

Résumé

Ce travail est consacré à l'étude des propriétés de contrôlabilité et de stabilisabilité pour des systèmes et leurs interactions avec un objet flottant. Les équations utilisées pour les vagues sont une version entièrement linéaire et entièrement dispersive de la formulation de Zakharov-Craig-Sulem. Pour l'interaction des vagues avec un objet flottant on utilise les équations des eaux peu profondes (Saint-Venant).La première partie de cette thèse a pour objectif d'étudier la stabilisabilité d'une classe de système de commande avec générateur anti-adjoint. Ceci est motivé par le problème de contrôle du système linéarisé de vagues. Avec les hypothèses sur le spectre des opérateurs d'évolution impliqués dans le système de contrôle, nous obtenons un taux de décroissance non uniforme explicite de l'énergie de ce système, à condition que les données initiales soient lisses.Nous considérons dans les deux parties suivantes le système de vagues avec amplitude faible dans un rectangle, où le contrôle agit sur une frontière latérale, en imposant la vitesse de l'eau. Nous étudions d'abord le caractère bien posé de l'ensemble du système, qui est abordé en formulant les équations comme un système de contrôle linéaire abstrait. Après, nous obtenons le taux de décroissance de l'énergie en utilisant les résultats généraux de la première partie. Ensuite, nous étudions le comportement asymptotique de la solution en régime d'eau peu profonde. Il s'avère que le système de vagues d'eau converge vers l'équation des vagues en 1D avec contrôle aux limites de Neumann, lors de la prise de la limite de faible profondeur.Dans la dernière partie, nous nous intéressons à un objet rigide flottant dans un réservoir d'eau. L'objet se déplace uniquement dans la direction verticale et le contrôle est une force verticale imposée agissant sur l'objet. Nous dérivons les équations non linéaires pour ce système et étudions l'espace atteignable et la stabilisabilité des équations linéarisées dans divers cas.

This work is devoted to studying the controllability and stabilizability properties of the control model coming from water waves problem and floating body system in a bounded domain. The equations used for the water waves system in this work is a fully linear and fully dispersive version of the Zakharov-Craig-Sulem formulation. The floating body system here is described by the nonlinear shallow water equations.The first part of this thesis aims to study the stability of a class of skew-adjoint control systems. This is motivated by the control problem of a linear water waves system. With the assumptions on the spectrum of the evolution operators involved in the control system, we obtain an explicit non-uniform decay rate of the energy of this system, provided that the initial data is smooth.We consider in the second part the small-amplitude water waves system in a rectangular domain, where the control acts on one lateral boundary, by imposing the velocity of the water. We first study the well-posedness of the whole system, which is addressed by formulating the equations as an abstract linear control system. Afterwards, we obtain the decay rate of the energy by using the general results in the first part. Next we study the asymptotic behaviour of the solution in the shallow water regime. It turns out the water waves system with boundary control converges to the waves equation in 1D with Neumann boundary control, when taking the shallowness limit.In the last part, we are interested in a rigid object floating in a bounded water tank. The object only moves in the vertical direction and the control is a vertical force imposed from the bottom of the object. We derive the nonlinear equations for this system and study the reachability and stabilizability of the linearized equations in various cases.