Systèmes à Dérivées Non Entières dans le domaine de l’acoustique : étude des pertes viscothermiques dans un instrument à vent

Application of fractional order system in the acoustics domain : Modeling and synthesis of a wind instrument

• Auteur / Autrice : Gaby Abou Haidar
• Direction : Xavier Moreau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Automatique, Productique, Signal et Image, Ingénierie cognitique
• Date : Soutenance le 15/07/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences physiques et de l’ingénieur (Talence, Gironde ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de l'intégration du matériau au système (Talence, Gironde)
• Jury : Président / Présidente : Rachid Malti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Xavier Moreau, Rachid Malti, Clovis Francis, Valérie Pommier-Budinger, Roy Abi Zeid Daou
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Clovis Francis, Valérie Pommier-Budinger

Mots clés

Mots clés contrôlés

Identification des systèmes

Commande intelligente

Instruments à vent

Mots clés libres

Instrument à vent

Modélisation

Identification

Controleur Fractionnaire

Pertes Visco thermique Fractionnaire

Wind instruments

Modeling

Identification

Fractional control

Fractional Viscous thermal losses

Résumé

Ce travail concerne l’identification, la modélisation et la synthèse des systèmes à dérivée non entière appliqués dans le domaine de l’acoustique à travers les pertes visco-thermique dans la flûte et le contrôle de l’air dans la bouche artificielle.Ainsi, dans un premier temps, la modélisation du résonateur de la flûte est proposée en fonction, notamment, de la longueur L et de la position x comprise entre 0 (entrée du résonateur) et L (sortie du résonateur). Ensuite, une approche système (au sens de l’Automatique) permet de décomposer l’impédance d’entrée en sous-systèmes, facilitant ainsi l’analyse notamment lors du passage d’un système semi-infini à un système fini. De plus, l’introduction d’une extension de l’expression fractionnaire utilisée pour la prise en compte des pertes visco-thermiques, où l’ordre m est habituellement égal à 0.5, permet de faire une première analyse de l’influence de l’ordre m compris en 0 (système conservatif) et 1 (système capacitif) sur la réponse fréquentielle de l’impédance du résonateur.Dans un second temps, l’étude du couplage entre l’excitateur non linéaire et le résonateur, et ce dans le cas habituel où l’ordre m est égal à 0.5 est présenté. Sur la base d’une synthèse bibliographique, un modèle non linéaire fréquemment utilisé dans la littérature est développé. Ensuite, après avoir insisté sur le mauvais conditionnement numérique d’un tel modèle, une solution est proposée permettant de développer un simulateur numérique programmé sous MatLab/Simulink. Pour un domaine d’étude défini par une pression constante à l’entrée du bec de flûte bornée par une valeur minimale de 400 Pa et une valeur maximale de 1000 Pa, une analyse détaillée des réponses temporelles simulées met en évidence la présence de trois phases durant lesquelles les variations de la pression à l’entrée du résonateur, de la vitesse acoustique et du déplacement latéral du jet d’air restent petites autour de zéro.Ensuite, la conception et l’implémentation d’une bouche artificielle est nécessaire pour contrôler la pression à l’entrée du bec de flûte. Ainsi, un premier simulateur a été développé sur la base d’une synthèse bibliographique concernant les bouches artificielles utilisées en acoustique musicale. Ce premier simulateur a permis de bien comprendre le fonctionnement d’un tel système, facilitant ainsi le choix et le dimensionnement des composants de la boucle de régulation. A l’issue de la réalisation de la bouche artificielle, un travail de modélisation de ce dispositif expérimental a conduit à un deuxième simulateur. Ce dernier a fait l’objet d’un recalage à partir de comparaisons entre des résultats expérimentaux et de simulation.Enfin, une étude de l’influence de l’ordre m (compris entre 0 et 1, autour de sa valeur nominale m0 = 0.5) sur le régime périodique stationnaire est proposée en simulation. Ainsi, à partir de l’extension du modèle fractionnaire, il est possible avec un seul paramètre de haut niveau, l’ordre m en l’occurrence, de faire varier facilement en simulation numérique, les pertes visco-thermiques, alors que d’un point de vue expérimental, il faudrait fabriquer et tester un nombre important de résonateurs avec des dimensions, des rugosités et des matériaux différents.

This work focuses on the identification, modeling and synthesis of fractional order derivative systems applied in the field of acoustics through the viscous-thermal losses in the flute musical instrument and the control of the air flow in the artificial mouth.Initially, the modeling of the flute resonator is proposed as a function of the length L and of the position x between 0 (input of the resonator) and L (output of the resonator). Then, a system approach makes it possible to decompose the input impedance into subsystems, thus facilitating the analysis, particularly when moving from a semi-infinite system to a finite system. In addition, extending the fractional expression by taking into account the viscous-thermal losses, where the order m is usually equal to 0.5, makes it possible to make a first analysis of the influence of order m, ranging between 0 (conservative system) and 1 (capacitive system), on the frequency response of the resonator impedance.Secondly, the study of the coupling between the nonlinear exciter and the resonator, in the usual case where the order m is equal to 0.5 is presented. Based on a bibliographic synthesis, a nonlinear model used in the literature is developed. Then, after showing the poor digital conditioning of such a model, a solution is proposed allowing the development of a digital simulator programmed using MATLAB / Simulink. As the field of study consists of the use of a constant pressure at the mouthpiece bounded by a minimum value of 400 Pa and a maximum value of 1000 Pa, a detailed analysis of the temporal responses highlights the presence of three phases during which the variations of the pressure at the resonator, of the acoustic velocity and of the lateral displacement of the air jet remain small, around zero.Next, the design and implementation of an artificial mouth is necessary to control the pressure at the input of the mouthpiece. Thus, a first simulator was developed on the basis of a bibliographic synthesis concerning artificial mouths used in musical acoustics. This first simulator provided a good understanding of the operation of such a system, thus facilitating the choice and sizing of the components of the regulation loop. Following the implementation of the artificial mouth, modeling work on this experimental device led to a second simulator. The latter was the subject of a registration based on comparisons between experimental and simulation results.Finally, a study of the influence of the order m (between 0 and 1, around its nominal value m0 = 0.5) on the stationary periodic regime is proposed in simulation. Thus, from the extension of the fractional model, it is possible with a single high-level parameter, the order m in this case, to easily vary in numerical simulation, the visco-thermal losses, while from an experimental point of view, it would be necessary to manufacture and test a large number of resonators with different dimensions, roughness and materials.