Equations modulaires en dimension superieure, applications au calcul d'isogenies et au comptage de points.

Higher-dimensional modular equations, applications to isogeny computations and point counting

• Auteur / Autrice : Jean Kieffer
• Direction : Damien Robert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 13/07/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Couveignes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Damien Robert, Kamal Khuri-Makdisi, Christine Bachoc, Sorina Ionica, David Lubicz
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Kamal Khuri-Makdisi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cryptographie

Fonctions modulaires

Variétés abéliennes

Mots clés libres

Variétés abéliennes

Algorithmes

Équations modulaires

Isogénies

Abelian varieties

Algorithms

Modular equations

Isogenies

Résumé

L’objectif de cette thèse est de généraliser la méthode d’Elkies, un ingrédient fondamental de l’algorithme SEA pour le comptage de points d’une courbe elliptique sur un corps fini, au cas des variétés abéliennes polarisées de dimension supérieure. Les équations modulaires jouent un rôle central dans cette étude. Premièrement, nous donnons un algorithme de calcul d’isogénies entre surfaces abéliennes à partir d’équations modulaires. Deuxièmement, nous obtenons des bornes de degré et de hauteur pour les équations modulaires en fonction de leur niveau. Troisièmement, nous décrivons un algorithme rigoureux permettant d’évaluer des équations modulaires pour les surfaces abéliennes via des approximations complexes. Combiner ces résultats permet d’obtenir un algorithme de comptage de points de meilleure complexité pour les surfaces abéliennes principalement polarisées avec multiplication réelle.

This thesis aims to generalize Elkies’s method, a fundamental ingredient in the SEA algorithm for counting points on elliptic curves over finite fields, to the case of polarized abelian varieties of higher dimensions. Modular equations play a central role in this study. First, we design an algorithm using these modular equations to compute isogenies between abelian surfaces. Second, we give degree and height bounds for modular equations in terms of their level. Third, we describe a rigorous algorithm to evaluate modular equations for abelian surfaces via complex approximations. Combining these results yields an asymptotically faster point counting algorithm for principally polarized abelian surfaces with fixed real multiplication.