Applications of complex analysis to the phase retrieval problem

Applications de l’Analyse Complexe au Problème de la Phase

• Auteur / Autrice : Rolando III Perez
• Direction : Philippe Jaming, Karim Kellay
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 08/07/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Isabelle Chalendar
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Jaming, Karim Kellay, Emmanuel Fricain, Philipp Grohs
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Emmanuel Fricain, Philipp Grohs

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Paley-Wiener

Analyse fonctionnelle

Hardy, Espaces de

Mots clés libres

Reconstruction de phase

Espace de Hardy

Espace de Paley-Wiener

Zero-Flipping

Stabilité

Phase retrieval

Hardy space

Paley-Wiener space

Zero-Flipping

Stability

Résumé

Dans cette thèse, notre objectif est d’appliquer des outils d’analyse complexe pour déterminer les solutions et étudier la stabilité de certains problèmes de reconstruction de phase. Nous étudions d’abord le problème de réconstruction de phase pour les signaux à large bande, des fonctions dont les transformées de Fourier sont lentement décroissantes. Nous ramenons ce problème, via une transformation conforme, à un problème de phase dans l’espace de Hardy, le théorème de factorisation de Beurling nous permet de résoudre complètement ce problème. Nous donnons ensuite des résultats d’unicité sur le problème de réconstruction de phase dans l’espace de Hardy. Plus précisément, nous montrons que certaines fonctions holomorphes sont déterminées de manière unique par leurs modules sur deux segments qui se croisent et dont l’angle n’est pas un multiple rationnel de ''Pi'' ou sur deux cercles concentriques. Enfin, nous étudions l’effet de ''zero-flipping'' sur la stabilité du problème de réconstruction de phase pour les fonctions de la classe de Paley-Wiener, le ''zeroflipping'' fait référence ici au remplacement des zéros par leurs conjugués complexes. Nous utilisons les propriétés analytiques de l’opérateur ''zero-flipping'' ainsi que sa transformées de Fourier pour obtenir les résultats sur la stabilité.

The study of phase retrieval involves the recovery of a function f in some functionspace from given data about the magnitude of |f| (phaseless information) and other assumptions on f, where these other assumptions can be in terms of some transform of f. Phase retrieval problems are widely studied because of their physical applications in fields of science and engineering.In this thesis, our central objective is to apply complex analytic tools to determine the solutions and investigate the stability of certain phase retrieval problems. Firstly, we solve the phase retrieval problem for wide-band signals, which are functions with mildly decreasing Fourier transforms. To do so, we first translate the problem to functions in the Hardy spaces on the disc via a conformal bijection, and take advantage of the inner-outer factorization. We also consider the same problem coupled with additional magnitude constraints, and determine if these constraints force uniqueness of the solution. Secondly, we extend some uniqueness results on the phase retrieval problem on the Hardy space on the disc to more general situations. More precisely, we show that certain holomorphic functions are uniquely determined by their moduli on two intersecting segments or on two concentric circles. Finally, we investigate the effect of zero-flipping on the stability of the phase retrieval problem for functions in the Paley-Wiener class, where zero-flipping refers to the replacement of zeros by their complex conjugates. We represent zero-flipping as an operator, and use its Fourier analytic properties to show our stability results.