Espaces de fonctions holomorphes et espace atteignable de l'équation de la chaleur

Spaces of analytic functions and reachable space of the heat equation

• Auteur / Autrice : Marcu-Antone Orsoni
• Direction : Andreas Hartmann
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Soutenance le 14/01/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Karine Beauchard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Andreas Hartmann, Alexander Borichev, Lionel Rosier, José Angel Pelàez Màrquez, Sylvain Ervedoza
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alexander Borichev, Lionel Rosier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions de plusieurs variables complexes

Équation de la chaleur

Fonctions holomorphes

Mots clés libres

Espaces de fonctions holomorphes

Espace atteignable

Equation de la chaleur

Noyaux reproduisants

Analyse complexe

Théorie du contrôle

Spaces of analytic functions

Reachable space

Heat equation

Reproducing kernels

Complex analysis

Control theory

Résumé

Cette thèse est consacrée à la description de l'espace atteignable de l'équation de la chaleur à l'aide de méthodes de l'analyse complexe moderne. Ce problème central de la théorie du contrôle est vieux de 50 ans et a captivé de nombreuses recherches depuis les travaux pionniers de Fattorini et Russel en 1971. Dans ce travail, on s'intéresse à l'équation de la chaleur 1-D sur un segment avec contrôle de Dirichlet au bord.Dans une première partie, on démontre à l'aide d'un théorème de type Paley-Wiener que l'espace atteignable est égal à la somme de deux espaces de Bergman, puis qu'il contient un espace de Smirnov-Zygmund en étudiant la régularité de la transformée de Cauchy.Dans une deuxième partie, en utilisant des méthodes de noyaux reproduisants et de d-bar, on résout le problème de séparation de singularités (problème de type Cousin) pour l'espace de Bergman dans plusieurs configurations. On en déduit ainsi une caractérisation définitive de l'espace atteignable comme espace de Bergman sur un carré.Enfin, la dernière partie est consacrée à l'équation de chaleur avec un potentiel quadratique et à son espace atteignable.

This thesis is devoted to the description of the reachable space of the heat equation using methods of modern complex analysis. This central problem in control theory is about 50 years old and has captivated a lot of research efforts since the pioneering work of Fattorini and Russell in 1971. In this work, we are interested in the 1-D heat equation on a segment with Dirichlet boundary control.In the first part, using a Paley-Wiener theorem we prove that the reachable space is the sum of two Bergman spaces, then that it contains a Smirnov-Zygmund space by studying the regularity of the Cauchy transform.In a second part, using reproducing kernels and d-bar methods, we solve the problem of separation of singularities (Cousin-type problem) for the Bergman space in several configurations. This enables us to deduce a definitive characterization of the reachable space as the Bergman space on a square.Finally, the last part is devoted to the heat equation with a quadratic potential and its reachable space.