Calcul des fonctions zêta de certaines courbes d'Artin-Schreier

Calculation of zeta functions of some Artin-Schreier curves.

• Auteur / Autrice : Timothé Pierre
• Direction : Régis Blache, Achis Chery
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 14/12/2021
• Etablissement(s) : Antilles
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Milieu insulaire tropical à risques : protection, valorisation , santé et développement (Pointe-à-Pitre)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications
• Jury : Président / Présidente : Gisèle Adélie Mophou Loudjom
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Régis Blache, Achis Chery, Gisèle Adélie Mophou Loudjom, Gary E. McGuire, Marc Perret, Jean-Pierre Cherdieu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gary E. McGuire, Marc Perret

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Polygones de

Gauss, Sommes de

Mathématiques

Courbes

Mots clés libres

Artin-Schreier

Nombre de points

Sommes de caractères

Fonction zêta

Fonction L

Curves

Number of points

Character sums

Zeta function

Newton polygon

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de certaines courbes d’Artin-Schreier sur des corps finis. On étudie dans un premier temps le problème du nombre de points rationnels de ces courbes sur un corps fini, en particulier sur n'importe quelle extension finie de son corps de définition, tout en l’exprimant à l’aide des sommes de caractères puis des sommes de Gauss. Dans un second temps, on exprime la fonction zêta de ces courbes, principalement le numérateur de cette fonction à l’aide de fonction L puis on donne des résultats sur le polygone de Newton du numérateur de cette fonction. Il faut dire que ces courbes ont été l’objet d’étude depuis plus d’un siècle. On peut citer par exemple McGuire et Yilmaz qui ont démontré des résultats sur la divisibilité du numérateur de la fonction zêta de certaines de ces courbes. Dans notre travail, nous donnons des résultats sur la factorisation du numérateur de la fonction zêta de certaines de ces courbes via les polynômes cyclonomiques.Il faut aussi citer I. Bouw et ses co-autrices qui eux-mêmes ont exprimés la fonction zêta de certaines courbes d’Artin-Schreier sur un corps fini spécifique. Notre travail est proche de ce qu’a fait Bouw et ses co-autrices, mais nous considérons plutôt des courbes d’Artin-Schreier généralisées et exprimons leur fonction zêta sur n’importe quel corps. Ce qui nous a permis d’obtenir des résultats plus généraux.

This thesis is devoted to the study of some Artin-Schreier curves over finite fields. We first study the problem of the number of rational points of these curves on a finite field, in particular on any finite extension of its definition field, while expressing it using character sums and then Gauss sums. In a second step, we express the zeta function of these curves, mainly the numerator of this function with the help of function L and then we give results on the Newton polygon of the numerator of this function. It must be said that these curves have been the object of study for more than a century. For example, McGuire and Yilmaz have shown results on the divisibility of the numerator of the zeta function of some of these curves. In our work, we give results on the factorization of the numerator of the zeta function of some of these curves via cyclonomic polynomials.It is also worth mentioning I. Bouw and his co-authors who themselves expressed the zeta function of some Artin-Schreier curves on a specific finite field. Our work is close to what Bouw and his co-authors did, but we consider generalized Artin-Schreier curves and express their zeta function over any body. This allowed us to obtain more general results.