Existence et non-existence de solutions pour une classe de systèmes elliptiques avec opérateurs non-linéaires

Existence and nonexistence of solutions for a class of elliptic systems with nonlinear operators

• Auteur / Autrice : Dany Nabab
• Direction : Jean Velin, Abdelkrim Moussaoui
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/12/2021
• Etablissement(s) : Antilles
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Milieu insulaire tropical à risques : protection, valorisation , santé et développement (Pointe-à-Pitre)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Groupe de Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées des Antilles et de la Guyane (Schoelcher, Martinique)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications
• Jury : Président / Présidente : Michel Henri Geoffroy
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean Velin, Abdelkrim Moussaoui, Michel Henri Geoffroy, Abdellaoui Boumediene, Jacques Giacomoni, Gisèle Adélie Mophou Loudjom
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Abdellaoui Boumediene, Jacques Giacomoni

Mots clés

Mots clés contrôlés

Laplacien

Mathématiques

Degré topologique

Mots clés libres

Problème elliptique non-linéaire

Système elliptique singulier

Espaces de Lebesgue et de Sobolev généralisés

Pseudo-Laplacien à exposants variables

Sur-et sous-solutions

Spectre du pseudo-Laplacien

Non-linear elliptic problem

Singular elliptic system

Generalized Lebesgue and Sobolev spaces

Pseudo-Laplacian variable exponent

Upper- and Lower-solutions

Spectrum of pseudo-Laplacian

Résumé

Les systèmes d’équations aux dérivées partielles avec opérateurs non-linéaires sont des modèles mathématiques qui aident à la compréhension et à l’étude de nombreux phénomènes rencontrés en science telles des réactions chimiques dans les organismes cellulaires en biologie ou les solutions en chimie ou encore l’interprétation des processus de restauration ou de segmentation en traitement d’images numériques. La résolution de ces équations constitue une étape capitale dans ces processus. Dans cette thèse, nous proposons des résultats d’existence et de non-existence de solutions non triviales pour des systèmes de type réaction-diffusion-convection fortement couplés dans lesquels les termes de diffusion sont modélisés par des opérateurs quasi-linéaires à exposants variables, fonction de la position spatiale. Les termes sources de ces systèmes peuvent éventuellement présenter des non-linéarités qui explosent au bord du domaine. Dans ce cas, on parle de systèmes singuliers. Contrairement aux modèles classiques, dans lesquels les non-linéarités et les termes de convection sont souvent négligés pour faciliter l’étude, les systèmes tant non singuliers que singuliers sont étudiés dans la thèse, et prennent en compte la variable spatiale dans la diffusion, modélisée par les opérateurs non linéaires et également dans des termes sources d’interférence et de convection. Cependant, la prise en compte de la non-linéarité et de la localisation spatiale font apparaître un grand nombre de difficultés d’ordre mathématique qui rendent inexploitables les résultats jusqu’à maintenant bien connus. Afin d'établir nos principaux résultats, nous avons élaboré des concepts nouveaux tels que : -un théorème de la valeur moyenne avec application à l’intégration de fonctions avec exposants fonction eux aussi de la variable d’intégration, ce qui place notre travail hors du cadre classique ; -une inégalité de type Diaz-Saa avec application à des estimations pour l’étude de la régularité des solutions. Grâce, entre autres, à l’introduction de ces nouveaux résultats, nous avons établi l’existence de solutions non-triviales, d’une part au moyen d’une récente méthode du degré topologique dans le cas non-singulier, d’autre part en combinant la méthode des sur- et sous-solutions avec la méthode du point fixe dans les cas singuliers et non singuliers. Des études sur la non existence de solutions y sont également consacrées, basées sur de récentes propriétés spectrales de l’opérateur pseudo-Laplacien avec exposant variable.

Systems of partial differential equations involving nonlinear operators are mathematical models used in helping to understand and to study many phenomena encountered in science, such as chemical reactions in cellular organisms in biology or interpretation of restoration or segmentation processes for digital image processing. Solving these equations is a crucial step in these processes. In this thesis, we give some existence and non-existence results of nontrivial solutions for strong coupled reaction-diffusion-convection systems. In these reactions, the diffusion terms are modelled by quasilinear operators in which variable exponents depend on the spatial position. The source terms in these systems may contain eventually nonlinear parts that blow up on the boundary of the domain. Such singular systems are designated by singular systems. By opposite to classical models in which nonlinear term and convection terms are omitted often to simplify the study, the regular and also singular systems studied in the thesis take into account the nonlinear characteristics and the spatial location into the interferences terms sources and convection terms. However, taking this account, many mathematical difficulties appear and it make the well-known results globally invalid. In order to establish our main results, we needed to elaborate new suitable concepts such as:- a mean value theorem with application to the integral calculus of functions expressed by exponents also dependent on the integration variable ; This makes our work out of the classical framework ;- a Diaz-Saa type inequality with application to estimates for the study of the regularity of solutions.Thanks among other to the introduction of these new results, we have established the existence of non-trivial solutions, on the one hand for the regular cases, by using a recent version of the topological Degree method, and on the other hand for singular cases by combining the method of lower- and upper-solutions with the method of the fixed point. Studies on the non-existence of solutions are also devoted, based on recent spectral properties of the pseudo-Laplacian operator with variable exponent.