Filtration nilpotente, catégories de foncteurs et étude du centre d’une algèbre instable noethérienne sur l’algèbre de Steenrod

Nilpotent filtration, functor categories and the study of the center of a noetherian unstable algebra over the Steenrod algebra

• Auteur / Autrice : Ouriel Bloede
• Direction : Geoffrey Powell
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 22/10/2021
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
• Jury : Président / Présidente : Christian Ausoni
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Franjou, Christine Vespa
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hans-Werner Henn, Nicholas John Kuhn

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions analytiques

Steenrod, Algèbre de

Mots clés libres

Algèbres instables

Filtration nilpotente

Centre d'une algèbre instable

Foncteurs analytiques

Steenrod algebra

Unstable algebra

Nilpotent filtration

Centre of an unstable algebra

Analytic functors

Résumé

Le but de cette thèse est d’appliquer à l’étude du centre d’une algèbre instable sur l’algèbre de Steenrod, des outils provenant d’une équivalence de catégorie entre la catégorie des modules instables sur l’algèbre de Steenrod localisée en ses objets n-nilpotents et certaines catégories de foncteur. Nous commençons par donner une description alternative de cette équivalence de catégorie, déjà classique, et nous précisons son comportement vis à vis des algèbres instables sur l’algèbre de Steenrod. Plus précisément, nous introduisons une catégorie d’algèbre instable dans la catégorie de foncteur déjà mentionnée, et justifions qu’elle est équivalente à la catégorie des algèbres instables localisée en les morphismes dont les noyaux et conoyaux sont n-nilpotents. Pour n = 1, cette équivalence se spécialise en une équivalence de catégorie vers la catégorie des foncteurs contravariants de la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie dans celle des ensembles profinis. Nous introduisons un foncteur décalage dans cette catégorie de foncteur, correspondant au foncteur T de Lannes dans la catégorie des algèbres instables. Après avoir introduit, une notion de centralité dans les différentes catégories de foncteur étudiées, de telle sorte que le centre d’une algèbre instable nilⁿ-fermée corresponde au centre du foncteur qui lui est associé, nous en déduisons un raffinement du centre d’une algèbre instable faisant intervenir la filtration nilpotente. Enfin, nous appliquons ces résultats à l’étude du problème de classification des algèbres instables, noethériennes, nil-fermées, connexes, munies d’une structure de H*(V )-comodule dont l’algèbre des éléments primitifs est une algèbre instable P fixée.

This thesis is concerned with the study of the centre of unstable algebra over the Steenrod algebra. We use tools that come from an equivalence of categories between the category of unstable modules over the Steenrod algebra localized by its n-nilpotent objects and some functor categories.We start by giving an alternative description of this already classical equivalence of categories, and we explain its behaviour regarding unstable algebra. More precisely, we define a category of unstables algebra in the functor category already mentionned,and we prove this is equivalent to the category of unstable algebra localized by the morphisms whose kernel and cokernel are n-nilpotent. For n = 1, this gives an equivalence with the category of contravariant functors from finite dimensional vector spaces to profinite sets. We introduce a shift functor in this category, corresponding to Lannes T functor in the category of unstable algebra. We define a notion of centrality in the categories of functor that we study, such that the centre of a nil n-closed unstable algebra is the same as the centre of the associated functor. Using this, we get a refinement of the centre of an unstable algebra, making use of the nilpotent filtration. Finally, we use those results to study the classification of noetherian, nil-closed, connected, H*(V )-comodules in the category of unstable algebra, whose primitive elements are a fixed unstable algebra P.