Modèles cellulaires équivariants en théorie de Lie

Equivariant cellular models in Lie theory

• Auteur / Autrice : Arthur Garnier
• Direction : David Chataur, Daniel Juteau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/12/2021
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Antoine Touzé
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Serge Bouc
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Geordie Williamson, Shizuo Kaji
• DOI : 10.70675/34b92de6z788fz4b95z854az12917be74bc1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de Lie

Groupes de Weyl

Groupes de Coxeter

Mots clés libres

Variété de drapeaux

Structure cellulaire équivariante

Tore

Groupe de Coxeter hyperbolique

Flag manifold

Equivariant cellular structure

Torus

Hyperbolic Coxeter group

Résumé

Ce travail vise à construire des structures cellulaires explicites sur des espaces apparaissant en théorie de Lie, équivariantes pour l'action d'un groupe de Weyl. En général, l'étude de telles structures sur un G-espace X a pour but d'exhiber un modèle pour le foncteur dérivé des sections globales RGamma(X,Z) dans la catégorie dérivée bornée D^b(Z[G]) des Z[G]-modules, unique à homotopie près. Les deux classes d'espaces sur lesquelles nous nous concentrons sont les variétés de drapeaux et tores maximaux des groupes de Lie compacts semi-simples. Plus spécifiquement, étant donné un groupe de Lie simple compact K et un tore maximal T<K, on donne une structure simpliciale générale sur T, équivariante pour l'action du groupe de Weyl W:=N_K(T)/T et nous décrivons la W-algèbre différentielle graduée associée, en fonction du réseau des caractères de T. Pour les groupes de Coxeter finis non cristallographiques, nous constuisons des variétés hyperboliques compactes qui peuvent être vues comme des analogues des tores, en utilisant des extensions hyperboliques plutôt que des extensions affines. Dans le cas des groupes diédraux, ce sont des surfaces de Riemann arithmétiques. Concernant les variétés de drapeaux, nous étudions trois décompositions cellulaires S_3-équivariantes distinctes de la variété de drapeaux réelle F_3(R) de R^3, qui constitue le premier exemple non-trivial. La première utilise le graphe de Goresky-Kottwitz-MacPherson de S_3 et un plongement algébrique de F_3(R) dans RP^7, la deuxième utilise le fait que le revêtement universel de F_3(R) est la 3-sphère et fournit un complexe d'homologie cellulaire particulièrement joli et simple. La troisième est probablement la plus prometteuse, puisqu'elle repose sur un domaine de Dirichlet-Voronoi, défini uniquement à partir d'une métrique riemannienne normale homogène sur F_3(R). Ainsi, il est raisonnable d'attendre de cette méthode qu'elle se généralise aux autres variétés de drapeaux. Nous donnons quelques résultats préliminaires dans ce sens

This work aims to construct explicit cellular structures on spaces arising in Lie theory, that are equivariant with respect to the action of a Weyl group. In general, the main purpose of studying such structures on a G-space X is to exhibit a model for the derived functor of global sections RGamma(X,Z) in the bounded derived category D^b(Z[G]) of Z[G]-modules, well-defined up to homotopy. The two classes of spaces we focus on are flag manifolds and maximal tori of semisimple compact Lie groups. More precisely, given a simple compact Lie group K and a maximal torus T<K, we give a general explicit simplicial structure on T, equivariant with respect to the action of the Weyl group W:=N_K(T)/T and we describe the associated W-dg-algebra, depending on the character lattice of T. For non-crystallographic finite Coxeter groups, we construct compact hyperbolic manifolds which may be seen as analogues of tori, using hyperbolic extensions rather than affine extensions. In the case of dihedral groups, these are arithmetic Riemann surfaces. Concerning flag manifolds, we study three different S_3-equivariant cellular decompositions of the real flag manifold F_3(R) of R^3, which is the first non-trivial example. The first one starts with the Goresky-Kottwitz-MacPherson graph of S_3 and an algebraic embedding F_3(R) dans RP^7, the second one uses the fact that the universal cover of F_3(R) is the 3-sphere and yields a particularly nice and simple cellular homology chain complex. The third one is perhaps the most promising one, as it relies on a Dirichlet-Voronoi fundamental domain, defined using only a normal homogeneous Riemannian metric on F_3(R). Therefore, this method is expected to be generalizable to other flag manifolds. We give some preliminary results in this direction