Contribution à l'étude mathématique et numérique de certains problèmes de membrane biologique, de fluide magnétorhéologique et de traitement d'image

Contribution to the mathematical and numerical study of certain problems of biological membrane, magnetorheological fluid and image processing

• Auteur / Autrice : Houda Fahim
• Direction : Mohammed Guedda, Nour Eddine Alaa
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/02/2021
• Etablissement(s) : Amiens en cotutelle avec Université Cadi Ayyad (Marrakech, Maroc)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée
• Jury : Président / Présidente : Abdeslem Hafid Bentbib
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mohammed Guedda, Nour Eddine Alaa, Gabriella Bognar, Mostafa Bendahmane, Fahd Karami, Youcef Mammeri, Chaouqi Misbah
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Gabriella Bognar, Mostafa Bendahmane, Fahd Karami

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Analyse mathématique

Mots clés libres

Optimisation de forme

Mathematical analysis

Partial differential equations

Optimization shape

Résumé

L'objectif de cette thèse de Doctorat est de modéliser et d'étudier certaines équations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles issues de la déformation des membranes biologiques, des fluides électro-rhéologiques et de traitement d'images. La thèse est divisée en trois parties indépendantes. La première partie porte sur la modélisation de la dynamique et la déformation des globules rouges et des membranes biologiques, comme les vésicules qui sont des modèles simplifiés pour les globules rouges. La première étape a pour objectif de déterminer la forme d'équilibre d'un globule rouge minimisant une certaine énergie. Pour cela, l'énergie de Canham et Helfrich est utilisée pour obtenir la forme biconcave. Plus précisément, nous avons dérivé l'équation d'équilibre et déterminé une condition (suffisante) pour obtenir une famille de formes biconcaves. En présence de fluide, les propriétés mécaniques des membranes biologiques jouent un rôle important sur la dynamique et la déformation des vésicules et des globules rouges. Nous avons donc analysé un modèle mathématique pour la diffusion de plusieurs espèces sur les membranes pour voir le changement morphologique de la membrane modulé par ses espèces (C'est l'étape 2 de cette partie). Dans la troisième étape, nous avons déterminé le mouvement et la dynamique d'une vésicule déformable sous l'action d'un écoulement de cisaillement oscillatoire, et nous avons obtenu une expression analytique de la viscosité effective d'une suspension de vésicules. Ce résultat va nous permettre de mieux comprendre l'effet de la déformation des globules rouges sur le comportement rhéologique du sang. Dans la deuxième partie, nous nous sommes concentrés sur l'étude d'une famille des équations et systèmes des équations aux dérivées partielles utilisées pour modéliser certain problèmes complexes. Par exemple: la modélisation des fluides non Newtoniens dont la viscosité change en présence d'un champ (non uniforme) électromagnétique. La difficulté mathématique de ces problèmes est la présence des opérateurs de type-p(x)laplacien. Ici nous avons démontré l'existence d'une solution faible pour une équation parabolique non linéaire ayant une condition de croissance non standard par rapport au gradient (présence d'exposant variable). Nous avons également montré l'existence d'une solution globale faible pour une classe de systèmes paraboliques dégénérés avec des exposants variables et des non-linéarités de croissance critiques par rapport au gradient. Dans la troisième partie nous avons présenté des applications en traitement d'images. Notre contribution porte sur la représentation des objets 2D et 3D en utilisant les harmoniques sphériques. Ces représentations ont été utilisées dans deux types d'applications en traitement d'images. Dans la première application, l'image à traiter est projetée sur la sphère afin d'obtenir les coefficients de la décomposition en harmonique sphérique. En suite à partir de ses coefficients l'image est reconstituée numériquement. Cette technique a besoin de moins d'espace de stockage. En ce qui concerne la deuxième application, nous avons construit un descripteur de forme basé également sur les harmoniques sphériques pour identifier les empreintes digitales

The objective of this PhD thesis is to model and study certain ordinary differential equations and partial differential equations resulting from the deformation of biological membranes, electro-rheological fluids and image processing. This thesis is divided into three independent parts. The first part focuses on modeling the dynamics and deformation of red blood cells and biological membranes, such as vesicles which are simplified models for red blood cells. The first step aims to determine the equilibrium shape of a red blood cell minimizing a certain energy. For this, the energy of Canham and Helfrich is used to obtain the biconcave shape. More precisely, we have derived the equilibrium equation and determined a (sufficient) condition to obtain a family of biconcave shapes. In the presence of fluid, the mechanical properties of biological membranes play an important role in the dynamics and deformation of vesicles and red blood cells. We therefore analyzed a mathematical model for the diffusion of several species on the membranes in order to observe the morphological change of the membrane modulated by its species (This is the second step of this part). In the third step, we determined the motion and dynamics of a deformable vesicle under the action of an oscillatory shear flow, and we obtained an analytical expression of the effective viscosity of a suspension of vesicles. This result will allow us to better understand the effect of the deformation of red blood cells on the rheological behavior of blood. In the second part, we focus on the study of a family of equations and systems of partial differential equations used to model certain complex problems. For example: the modeling of non-Newtonian fluids whose viscosity changes in the presence of a (non-uniform) electromagnetic field. The mathematical difficulty of these problems is the presence of the operators of type-p(x) Laplacian. Here we have demonstrated the existence of a weak solution for a nonlinear parabolic equation having a nonstandard growth condition with respect to the gradient (presence of variable exponent). We have also shown the existence of a weak global solution for a class of degenerate parabolic systems with variable exponents and critical growth nonlinearities with respect to the gradient. In the third part, we present applications in image processing. Our contribution concerns the representation of 2D and 3D objects using spherical harmonics. These representations have been used in two types of image processing applications. In the first application, the processed image is projected onto the sphere in order to obtain the coefficients of the spherical harmonic decomposition. Then from its coefficients the image is reconstructed digitally. This technique needs less storage space. Regarding the second application, we have built a shape descriptor also based on spherical harmonics to identify fingerprints