Inverse boundary value problems for elliptic equations

par Yosra Soussi

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Mourad Bellassoued et de Yavar Kian.

Soutenue le 13-12-2021

à Aix-Marseille en cotutelle avec l'Université Tunis El Manar. Faculté des Sciences Mathématiques, Physiques et Naturelles de Tunis (Tunisie) , dans le cadre de Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille) , en partenariat avec Centre de physique théorique (CPT) (Marseille ; Toulon) (laboratoire) et de Laboratoire de Modélisation Mathématique et Numérique dans les Sciences de l'Ingénieur (Tunis, Tunisie) (laboratoire) .

Le président du jury était Amel Ben Abda.

Le jury était composé de Katya Krupchyk.

Les rapporteurs étaient Abdessatar Khelifi, Sylvain Ervedoza.

mots clés

• Problème inverse
• Équations elliptiques
• Équation de Schrödinger
• Équation de convection-Diffusion stationnaire
• Potentiel électromagnétique
• Champ vitesse
• Estimation de Carleman
• Données partielles
• Estimation de stabilité
• Opérateur Dirichlet-À-Neumann
• Guide d'onde infini
• Équations différentielles elliptiques
• Schrödinger, Équation de
• Problème inverse de diffusion
• Carleman, Méthode de

Titre traduit

Problèmes inverses pour des opérateurs elliptiques à partir de mesures frontières

Résumé

Dans cette thèse, on étudie quelques problèmes inverses dans des domaines bornés et non bornés pour des opérateurs elliptiques qui représentent des perturbations d'ordre 0 et d'ordre 1 du Laplacien à partir des mesures frontières. Cette étude consiste à établir des estimations de stabilité dans la détermination des coefficients d'ordre 0 et d'ordre 1 apparaissant dans des équations aux dérivées partielles elliptiques.Le premier problème abordé est associé à l'équation de Schrödinger définie sur un domaine non borné de \R^3. Il s'agit de déterminer d'une façon stable le potentiel électrique à partir des mesures sur toute la frontière du domaine dans un premier temps et sur une partie dans un second temps. En présence du potentiel magnétique, on considère un second problème pour lequel on démontre que le potentiel électrique et le champ magnétique dépendent d'une manière stable des opérateurs Dirichlet-à-Neumann global et partiel. Le troisième problème traité dans cette thèse consiste à identifier, à partir des mesures sur une partie quelconque du bord, le champ vitesse apparaissant dans l'équation de convection-diffusion stationnaire définie sur un domaine borné. Comme l'opérateur considéré n'est pas auto-adjoint, on a recours à un problème auxiliaire qui est le problème inverse associé à l'équation de Schrödinger magnétique. On établit l'équivalence entre les deux problèmes et on utilise les estimations de stabilité pour le champ magnétique et le potentiel électrique.L'idée principale derrière la démonstration de ces résultats de stabilité est la construction de solutions avec des propriétés particulières en se basant sur des estimations de Carleman adaptées.

mots clés

• Inverse problem
• Elliptic equations
• Schrödinger equation
• Stationary convection-Diffusion equation
• Electromagnetic potential
• Velocity field
• Carleman's estimate
• Partial data
• Stability estimate
• Dirichlet-To-Neumann map
• Infinite cylindrical waveguide.

Résumé

In this thesis, some inverse boundary values problems are studied in bounded and unbounded domains for elliptical operators that represent zeroth and first order disturbances of the Laplacian. This study is intended to establish stability estimates in the determination of coefficients of order 0 and order 1 appearing in elliptical partial differential equations.The first problem discussed is associated with the Schrödinger equation defined on an unbounded domain of \R^3. The aim is to stably determine the electric potential from measurements on the whole boundary of the domain in a first instance and on a some portion in a second.In the presence of the magnetic potential, a second problem is considered for which it is proved that the electric potential and the magnetic field depend stably on the global and partial Dirichlet-to-Neumann maps.The third problem addressed in this thesis consists in identifying, from measurements on any subset of the boundary, the velocity field appearing in the steady state convection-diffusion equation defined on a bounded domain. Since the operator under consideration is not self-adjoint, we reduce our problem to an auxiliary one. This latter is an inverse problem associated with the magnetic Schrödinger equation. We establish the equivalence between the two problems and we use the stability estimates for the magnetic field and the electric potential.The main idea of the proof of these stability results is the construction of solutions with particular properties based on appropriate Carleman estimates. Moreover, the proof of partial data stablity results requires an aditionnal ingredient which is the weak unique continuation property.